高二计数原理

把一个正方形等分成四份（就是田字格的样子），左上角、左下角、右下角、右上角的区域顺次标上1234四个号码。用5种不同颜色给这四个区域涂色，每个区域涂1种颜色，相邻区域不同色，则共有多少种不同的涂色方法？
我的答案：
分类：第一类，用了四种不同的颜色，从5个中取出4个排列
第二类，用了三种不同的颜色，两个一样的视为一个整体，两个不一样，从5个中取出3个排列
第三类，用了两种不同的颜色，则是从5个中取出2个排列
共计200种方法
书上的答案：
分类：第一类，1、3号颜色相同 5*4*4
第二类，1、3号颜色不同 5*4*3*3
共计260种
哪一个是对的？如果书上的对，我又错在哪里了呢？

书上是正确的。你的问题出在第二类分法上。用三种不同颜色有两种布局，一种是1，4相同，另一种是2，3相同，每一种都有“从5中取出3个排列”种分法，所以还需要乘以2，而你只考虑了一种。第二类与第三类分法相似，第三类不需乘以2的原因是，第三类是平均分配颜色，即1，4和2，3都是同色，而第二类是不平均分配。
我自己也用另一种方法做出来了：
第一类：1、4相同，2、3不同。“5个取1”ד4个取2”，即60。
第二类：1、4相同，2、3相同。“5个取1”ד4个取1”，即20。
第三类：1、4不同，2、3不同。“5个取2”ד3个取2”，即120。
第四类：1、4不同，2、3相同。“5个取2”ד3个取1”，即60。
共计260种。