求二元函数混合微分 z=f(x²-y²,e的xy次方)

求二元函数混合微分 z=f(x²-y²,e的xy次方)

求二元函数全微分 z=f[x²-y²，e^(xy)]
解：设z=f(u，v)，u=x²-y²，v=e^(xy)
则dz=(∂f/∂u)du+(∂f/∂v)dv...........(1)
其中du=(∂u/∂x)dx+(∂u/∂y)dy=2xdx-2ydy；
dv=(∂v/∂x)dx+(∂v/∂y)dy=ye^(xy)dx+xe^(xy)dy；
代入(1)式得：
dz=(∂f/∂u)(2xdx-2ydy)+(∂f/∂v)[ye^(xy)dx+xe^(xy)dy]
=2(∂f/∂u)(xdx-ydy)+(∂f/∂v)(ydx+xdy)e^(xy)

已知二元函数 z=f[x²-y²,e^(xy)] 求∂²z/∂x∂y 解：设z=f(u，v)，u=x²-y²，v=e^(xy)； ∂z/∂x=(∂z/∂u)(∂u/∂x)+(∂z/∂v)(∂v/∂x)=(∂z/∂u)(2x)+(∂z/∂v)[ye^(xy)] ∂²z/∂x∂y=2x(∂²z/∂u²)(∂u/∂y)+ye^(xy)(∂²z/∂v²)(∂v/∂y)+(∂z/∂v)[e^(xy)+xye^(xy)] =-4xy(∂²z/∂u²)+ye^(xy)(∂²z/∂v²)[xe^(xy)]+(∂z/∂v)[e^(xy)+xye^(xy)] =-4xy(∂²z/∂u²)+xye^(2xy)(∂²z/∂v²)+[e^(xy)+xye^(xy)](∂z/∂v).