某银行的一个营业窗口可办理四类业务，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计以往

某银行的一个营业窗口可办理四类业务，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计以往100位顾客办理业务所需的时间（t），结果如下： 类别 A类 B类 C类 D类 顾客数（人） 20 30 40 10 时间t（分钟/人） 2 3 4 6注：银行工作人员在办理两项业务时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率．（Ⅰ）求银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务的概率；（Ⅱ）用X表示至第4分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．

（Ⅰ）设Y表示银行工作人员办理业务需要的时间，用频率估计概率得Y的分布列如下：

 Y 2   3  4 6 
 P  
1
5  
3
10
2
5
1
10 用A表示事件“银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务”，则事件A有两种情形：
①办理第一位业务所需的时间为2分钟，且办理第二位业务所需的时间为3分钟；
②办理第一位业务所需的时间为3分钟，且办理第二位业务所需的时间为2分钟；
∴P（A）=P（Y=2）P（Y=3）+P（Y=3）P（Y=2）=
1
5 ×
3
10 +
3
10 ×
1
5 =
3
25 ；
（Ⅱ）由题意可知X的取值为0，1，2，
X=0对应办理第一位的业务需时超过4分钟，故P（X=0）=P（Y＞4）=
1
10 ，
X=1对应办理第一位业务所需的时间为2分钟，且办理第二位业务所需的时间超过分钟，
或办理第一位业务所需的时间为3分钟，或办理第一位业务所需的时间为4分钟，
故P（X=1）=P（Y=2）P（Y＞2）+P（Y=3）+P（Y=4）=
1
5 ×
4
5 +
3
10 +
2
5 =
43
50 ，
X=2对应办理两位顾客业务时间均为2分钟，故P（X=2）=P（Y=2）P（Y=2）=
1
5 ×
1
5 =
1
25 ，
故X的分布列为：

X  0  1  2 
 P
1
10  
43
50
1
25 故EX=0×
1
10 +1×
43
50 +2×
1
25 =
47
50

（1）设y表示服务员准备工具所需的时间，用p表示概率，得y的分布列如下； y 2 3 4 6 p 1 5 3 10 2 5 1 10 a表示事件“服务员在6分钟开始为第三位顾客准备泡茶工具”，则事件a对应两种情形： ①为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟，且为第二位所需的时间为3分钟； ②为第一位顾客所需的时间为3分钟，且为第一位顾客准备所需的时间为2分钟； ∴p（a）=p（y=2）?p（y=3）+p（y=3）?p（y=2） = 1 5 × 3 10 + 3 10 × 1 5 = 3 25 ； （2）x的取值为0、1、2， x=0时对应为第一位顾客准备所需的时间超过4分钟， ∴p（x=0）=p（y＞4）= 1 10 ； x=1对应为第一位顾客所需的时间2分钟且为第二位顾客准备所需的时间超过2分钟， 或为第一位顾客准备所需的时间3分钟或为第一位顾客准备所需的时间4分钟， ∴p（x=1）=p（y=2）?p（y＞2）+p（y=3）+p（ y=4） = 1 5 × 4 5 + 3 10 + 2 5 = 43 50 ； x=2对应准备两位顾客泡茶工具的时间均为2分钟， ∴p（x=2）=p（y=2）p（y=2）= 1 5 × 1 5 = 1 25 ； ∴x的数学期望是e（x）=0× 1 10 +1× 43 50 +2× 1 25 = 47 50 ．