如图,在四棱椎P－ABCD中,底面ABCD是边长为 的正方形,且PD= ,PA=PC= . (1)求证:直线PD⊥面ABCD; (2)求

如图,在四棱椎P－ABCD中,底面ABCD是边长为 的正方形,且PD= ,PA=PC= . (1)求证:直线PD⊥面ABCD; (2)求

（1）见解析；（2） .

(1)本小题可通过证 ，和 来达到证明直线PD⊥面ABCD的目的。 （2）解决本小题的关键是作出二面角的平面角，取AP中点H，过H作 于G，连结DG。则 为所求二面角平面角,然后解三角形求角即可。 解：（1） 在 中， ， 即 ，同理 又AD、CD 平面ABCD， 直线PD （2）解法一： 如图,连结AC和BD，设 由（1）知 ，又 ，且 PD、BD 平面PBD， 直线AC 平面PBD， 过点O作 E为垂足，连结AE，由三垂线定理知 ， 为二面角A-PB-D的平面角 AB ，所以 面ABCD，故AB PD， 从而AB 面PAD，故AB PA， 在 中， 在 中， 在 中， 二面角A-PB-D的平面角为 . 解法二：取AP中点H，过H作 于G，连结DG 则 为所求二面角平面角， 解法三：利用空间向量