化简:Cn0+1/2Cn1+1/3Cn2+...+1/(n+1)Cnn
答案:2 悬赏:0
解决时间 2021-02-11 02:53
- 提问者网友：乱人心
- 2021-02-10 17:18
化简:Cn0+1/2Cn1+1/3Cn2+...+1/(n+1)Cnn
最佳答案
- 二级知识专家网友：社会水太深
- 2021-02-10 17:28
1/(k+1)C(n,k)
=n!/(n-k)!k! * 1/(k+1)
=n!/(n-k)!(k+1)!
=(n+1)!/(n+1-k-1)!(k+1)! *1/(n+1)
=C(n+1,k+1)*1/(n+1)
所以
Cn0+1/2Cn1+1/3Cn2+...+1/(n+1)Cnn
=1/(n+1)C(n+1,1)+1/(n+1)C(n+1,2)……+1/(n+1)C(n+1,n+1)
=1/(n+1) [C(n+1,1)+C(n+1,2)……+C(n+1,n+1)]
=1/(n+1)*(2^(n+1)-1)
因为(1+1)^n=C(n,0)+C(n,1)+……+C(n,n)
所以C(n+1,1)+C(n+1,2)……+C(n+1,n+1)=(1+1)^(n+1)-C(n+1,0)=2^(n+1)-1
所以Cn0+1/2Cn1+1/3Cn2+...+1/(n+1)Cnn=1/(n+1)*(2^(n+1)-1)
=n!/(n-k)!k! * 1/(k+1)
=n!/(n-k)!(k+1)!
=(n+1)!/(n+1-k-1)!(k+1)! *1/(n+1)
=C(n+1,k+1)*1/(n+1)
所以
Cn0+1/2Cn1+1/3Cn2+...+1/(n+1)Cnn
=1/(n+1)C(n+1,1)+1/(n+1)C(n+1,2)……+1/(n+1)C(n+1,n+1)
=1/(n+1) [C(n+1,1)+C(n+1,2)……+C(n+1,n+1)]
=1/(n+1)*(2^(n+1)-1)
因为(1+1)^n=C(n,0)+C(n,1)+……+C(n,n)
所以C(n+1,1)+C(n+1,2)……+C(n+1,n+1)=(1+1)^(n+1)-C(n+1,0)=2^(n+1)-1
所以Cn0+1/2Cn1+1/3Cn2+...+1/(n+1)Cnn=1/(n+1)*(2^(n+1)-1)
全部回答
- 1楼网友：陪伴是最长情的告白
- 2021-02-10 18:01
先用一个等式(n+1)/(k+1)c(k,n)=c(k+1,n+1)
证明：c(k+1,n+1)/c(k,n)=[(n+1)!/(k+1)!*(n-k)!]/[n!/k!*(n-k)!]=(n+1)/(k+1)
所以1/(k+1)c(k,n)=1/(n+1)c(k+1,n+1)
所以cn0+1/2cn1+1/3cn2+...+1/（n+1）cnn
=1/(n+1)*[c(1,n+1)+c(2,n+1)+c(3,n+1)+…+c(n+1,n+1)]
又c(0,n)+c(1,n)+c(2,n)+…+c(n,n)=2^n
所以2^(n+1)-1=31
n=4，接下来可以自己做啦
注：c(m,n)表示m在上,n再下的组合数。
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