xyzw=100的自然数解有几个

xyzw=100的自然数解有几个

可以用挡板法:（排列组合）
把104个火柴杆排成一排(可以凭想象)
那么在104个火柴之间有103个空,在这103个空里面任意选3个空分别插入一个挡板,这样3个挡板就把104根火柴分成4堆,不妨把从左到右4堆火柴的个数分别记为a,b,c,d,那么每一种挡板的放置方法对应一组abcd的数值,且a+b+c+d=104,
而挡板的放置方法有C(103,3)=(103*102*101)/(3*2*1) = 176851 种.
所以方程a+b+c+d=104有176851组正整数解.

而此题求的是自然数解,
若a+b+c+d=104则(a-1)+(b-1)+(c-1)+(d-1)=100
令a-1=x,b-1=y,c-1=z,d-1=w
则每一组abcd的值对应一组xyzw的值,且x+y+z+w=100
因此x+y+z+w=100这个方程组的自然数解的组数是176851

ooo............oxooyoozow 这里有100个球，中间有x y z，尾巴上还有个 w是固定的。 x左边球数是x的值, x y之间的球数是y的值... 所以解数＝103个位置中选出3个位置放xyz =c（103, 3） 这个结论把0当作自然数了 否则 是c（99,3）