设点p是椭圆x2/4+y2=1上一点,F1F2是椭圆两个焦点,则PF1*PF2的最大值为多少?最小值是多少?
答案:2 悬赏:40
解决时间 2021-04-22 14:11
- 提问者网友:心裂
- 2021-04-21 21:20
求高手教路!求详细过程!万分感谢!!
最佳答案
- 二级知识专家网友:野心和家
- 2021-04-21 21:43
a^2=4 ,b^2=1 ,所以 c^2=a^2-b^2=3 ,
设 P(x,y)是椭圆上任一点,已知 F1(-√3,0),F2(√3,0),
所以 PF1=(-√3-x,-y),PF2=(√3-x,-y),
因此 PF1*PF2=(-√3-x)(√3-x)+(-y)*(-y)=x^2+y^2-3
=x^2+(1-x^2/4)-3=3/4*x^2-2 ,
由 -2<=x<=2 得 0<=x^2<=4 ,
所以 PF1*PF2 最小值为 -2 ,最大值为 3/4*4-2=1 。
此题如果是求 |PF1|*|PF2| 的最值,可以采用焦半径公式。
设 P(x,y)是椭圆上任一点,则 |PF1|=a+ex ,|PF2|=a-ex ,
|PF1|*|PF2|=(a+ex)(a-ex)=a^2-e^2*x^2 ,
由于 x^2 最小值为 0 ,最大值为 a^2 ,
所以 |PF1|*|PF2| 最大值为 a^2=4 ,最小值为 a^2-e^2*a^2=b^2=1 。
设 P(x,y)是椭圆上任一点,已知 F1(-√3,0),F2(√3,0),
所以 PF1=(-√3-x,-y),PF2=(√3-x,-y),
因此 PF1*PF2=(-√3-x)(√3-x)+(-y)*(-y)=x^2+y^2-3
=x^2+(1-x^2/4)-3=3/4*x^2-2 ,
由 -2<=x<=2 得 0<=x^2<=4 ,
所以 PF1*PF2 最小值为 -2 ,最大值为 3/4*4-2=1 。
此题如果是求 |PF1|*|PF2| 的最值,可以采用焦半径公式。
设 P(x,y)是椭圆上任一点,则 |PF1|=a+ex ,|PF2|=a-ex ,
|PF1|*|PF2|=(a+ex)(a-ex)=a^2-e^2*x^2 ,
由于 x^2 最小值为 0 ,最大值为 a^2 ,
所以 |PF1|*|PF2| 最大值为 a^2=4 ,最小值为 a^2-e^2*a^2=b^2=1 。
全部回答
- 1楼网友:而你却相形见绌
- 2021-04-21 21:56
椭圆定义pf1+pf2为定值2a=20,pf1*pf2<=((pf1+pf2)^2)/4=100当pf1=pf2时取到即p(0,8)或p(0,-8),一楼等于没说道理么,实际很简单,三角形pf1f2两边之差小于等于第三边f1f2=2c=12(c=根号(a^2-b^2)=6),在三角形退化即三点共线时取到,p=(10,0),(-10,0)去掉不对的一解。
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