P对NP问题的定义

P对NP问题的定义

为了研究问题的复杂性，我们必须将问题抽象，为了简化问题，我们只考虑一类简单的问题，判定性问题，即提出一个问题，只需要回答yes或者 no的问题。任何一般的最优化问题都可以转化为一系列判定性问题，比如求图中从A到B的最短路径，可以转化成：从A到B是否有长度为1的路径？从A到B是否有长度为2的路径？。。。从A到B是否有长度为k的路径？如果问到了k的时候回答了yes，则停止发问，我们可以说从A到B的最短路径就是k。如果一个判定性问题的复杂度是该问题的一个实例的规模n的多项式函数，则我们说这种可以在多项式时间内解决的判定性问题属于P类问题。P类问题就是所有复杂度为多项式时间的问题的集合。然而有些问题很难找到多项式时间的算法（或许根本不存在），比如找出无向图中的哈米尔顿回路问题，但是我们发现如果给了我们该问题的一个答案，我们可以在多项式时间内判断这个答案是否正确。比如说对于哈米尔顿回路问题，给一个任意的回路，我们很容易判断他是否是哈米尔顿回路（只要看是不是所有的顶点都在回路中就可以了）。这种可以在多项式时间内验证一个解是否正确的问题称为NP问题。显然，所有的P类问题都是属于NP问题的，但是现在的问题是，P是否等于NP?这个问题至今还未解决。这就是P对NP问题。
“P类”、“NP类”、“更复杂的类”，是确定型Turing机DTM中的不同复杂性分类。这些分类是由不同问题的性质决定的，还是我们目前没有找到好的DTM解决方法形成的？这就是“P对NP”问题上。它的基本意思是：
（1）P=NP：我们最终能够找到一些计算方法，使得NDTM能够快速解决的问题，在DTM上也能够快速解决。快速的意思是“使用不超过输入字符串的多项式时间”。
（2）P≠NP：NP只能用NDTM快速解决，而不能用DTM快速解决。
假如P≠NP，关于NP类内部的结构，可以再分成3个区域：P、NPC和NPI。
NPC和是NP里“最难的”问题，因为任何NP中的问题可以在多项式时间内变换成为任何特定NPC（NP-完全问题，NP-completeness）的一个特例。这就是说，如果找到一个NPC问题的快速解决方法，则所有的NP问题都可以快速解决了。NPI是NP中既不是P又不是NPC的问题类，如果P≠NP。
例如，密码学中的“素数分解”（大数分解和素性检测），就是一个NPC问题。假如P=NP，密码学的工作者必须改造的工作，实在是太多了！如果P=NP，则现有的大量密文都是容易解密的。