已知a2+b2=1，c2+d2=1，求证：|ac+bd|≤1
答案:2 悬赏:40
解决时间 2021-01-11 11:01
- 提问者网友：练爱
- 2021-01-10 19:09
已知a2+b2=1，c2+d2=1，求证：|ac+bd|≤1
最佳答案
- 二级知识专家网友：从此江山别
- 2021-01-10 20:00
证明：要证|ac+bd|≤1，只需证（ac+bd）2≤1，…（3分）
由于a2+b2=1，c2+d2=1，所以只需证（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），…（6分）
展开整理得（bc-ad）2≥0，而此式显然成立，所以原不等式成立． …（10分）
由于a2+b2=1，c2+d2=1，所以只需证（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），…（6分）
展开整理得（bc-ad）2≥0，而此式显然成立，所以原不等式成立． …（10分）
全部回答
- 1楼网友：第幾種人
- 2021-01-10 21:26
用换元法证.
∵a2+b2=1，c2+d2=1
∴设a=sina,b=cosa,c=sinβ,d=cosβ
∴ac+bd=sinasinβ+cosacosβ
=cosacosβ+sinasinβ
=cos(a-β)
∵-1≤cos(a-β)≤1
∴|ac+bd|≤1
∵a2+b2=1，c2+d2=1
∴设a=sina,b=cosa,c=sinβ,d=cosβ
∴ac+bd=sinasinβ+cosacosβ
=cosacosβ+sinasinβ
=cos(a-β)
∵-1≤cos(a-β)≤1
∴|ac+bd|≤1
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