数列{an}中,a1=1,an=a(n-1)+n,求{an}的前n项和

求Sn ,各位 看清楚了

+n
=n(n+1)/...！.5*(1+2+……n)=(1+n)*n/.5n

Sn=a1+a2+a3+……an
s1=0.5n^2+0.因为an=a(n-1)+n
an-a(n-1)=n
a2-a1=2
a3-a2=3
a4-a3=4
;2
an=n(n+1)/2
s2=0...
an-a(n-1)=n
用叠加法得
an-a1=2+3+4+5+.+n
因为a1=1
所以an=1+2+3+4+;2 =0.5*(1^2+2^2+3^2+……n^2)=（这个有公式吧

a1=1 a2-a1=2 a3-a2=3 a4-a3=4 …… an-a(n-1)=n 以上n个式子相加得 an=1+2+3+4+……+n=n(n+1)/2

先递推总结规律，然后再证明 an=[a(n-1) 1]/a(n-1) a1=1=1/1 a2=(1 1)/1=2/1 a3=(2 1)/2=3/2 a4=(3/2 1)/(3/2)=(3 2)/3=5/3 a5=(5/3 1)/(5/3)=8/5 从第3项开始，an=a/b中,分子a是a(n-1)的分子分母之和，b是a(n-2)的分子分母之和。 a和b都是菲波那契数列：1,1,2,3,5,8,13...每一项都是前两项的和，只不过a,b错开了一个。 菲波那契数列fn的通项公式为：fn={[（1＋√5）/2]^n － [（1－√5）/2]^n }/√5. （注：√5表示根号5） 这样 a=f(n 1)={[（1＋√5）/2]^(n 1) － [（1－√5）/2]^(n 1) }/√5. b=fn={[（1＋√5）/2]^n － [（1－√5）/2]^n }/√5. 因此an=a/b =f(n 1)/fn ={[（1＋√5）/2]^(n 1) － [（1－√5）/2]^(n 1) }/{[（1＋√5）/2]^n － [（1－√5）/2]^n } an的具体证明如下，用数学归纳法，对于a1，a2验证成立。 假设对所有n<=k均成立。由假设ak=f(k 1)/fk 当n=k 1时， a(k 1)=(ak 1)/ak =[f(k 1)/fk 1]/[f(k 1)/fk] =[(f(k 1) f(k))/fk][f(k 1)/fk] 由菲波那契数列的性质，f(k 1) f(k)=f(k 2) 因此 a(k 1) =[f(k 2)/fk]/[f(k 1)/fk] =f(k 2)/f(k 1) 对n=k 1也成立。综上，对所有n属于n*都成立 证毕