已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示

已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O（0，0），A（10，0），B（8，2 ），C（0，2 ），点T在线段OA上（不与线段端点重合），将纸片折叠，使点A落在射线AB上（记为点A′），折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分（图中的阴影部分）的面积为S．
（1）求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；
（2）当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；
（3）S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由．

（1）过点B作X轴的垂线，则垂线段长为2，交点到点A的距离也为2，故∠OAB=45°
当点A′在线段AB上时，折叠后纸片重叠部分的面积即为直角三角形AA′T面积的一半，相当于对折题目，S=1/2（10-t）² (8≤ t＜10)
（2）由第一题可知，垂线经过AB线段中点往右下平移时，重影面积为三角形，故当纸片重叠部分的图形是四边形时，作AB的垂线，与四边形OABC截得的图形为四边形，故t＜8，当此垂线段向左上平移时，经过点B时，此时重叠部分是为三角形了，此时求得t=6，故应该t＞6，即6＜t＜8，重叠部分为四边形
（3）根据（1）和（2）可知，当重叠部分为三角形时，最大面积为S=2，
当重叠部分为四边形时，面积分割法S=1/2(10-t)²-1/4(10-t)²-1/2(8-t)²
化简S=-(t/2-3)²+2 当t=6时 S最大为2（假设能取到最大值）
由此得出S存在最大值为2

俊狼猎英团队为您解答 ⑴在直线od：y=-3/4x中，令y=-3得，x=4，∴d(4，-3)； ⑵抛物线y=ax^2-4/9x过a，所以：0=36a-8/3，a=2/27， ∴抛物线解析式：y=2/27x^2-4/9x， ⑶y=2/27(x-3)^2-2/3，对称轴=3， 令x=3，y=-3/4x=-9/4，∴m(3，-9/4)，om^2=225/16 ①对称轴与x轴交点(3，0)满足条件，∴p1(3，0)； ②p1m=9/4， 在第一象限，存在p2，则δmop1∽δmp2o， ∴om^2=p1m*p2m， p2m=om^2/p1m=25/4， ∴p1p2=p2m-p1m=4， ∴p2(3，4)

(1) ∵A，B两点的坐标分别是A(10，0)和B(8， )， ∴ ， ∴ 当点A´在线段AB上时，∵ ，TA=TA´， ∴△A´TA是等边三角形，且 ， ∴ ， ， ∴ ， 当A´与B重合时，AT=AB= ， 所以此时 。 (2)当点A´在线段AB的延长线，且点P在线段AB(不与B重合)上时， 纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中E是TA´与CB的交点)， 当点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是(2，0) 又由(1)中求得当A´与B重合时，T的坐标是(6，0) 所以当纸片重叠部分的图形是四边形时， 。 (3)S存在最大值 ○1当 时， ， 在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小， ∴当t=6时，S的值最大是 。 ○2当 时，由图○1，重叠部分的面积 ∵△A´EB的高是 ， ∴ 当t=2时，S的值最大是 ； ○3当 ，即当点A´和点P都在线段AB的延长线是(如图○2，其中E是TA´与CB的交点，F是TP与CB的交点)， ∵ ，四边形ETAB是等腰形，∴EF=ET=AB=4， ∴ 综上所述，S的最大值是 ，此时t的值是 。