已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N,点M在对角线BD上,且满足∠BAM=∠DAN,∠BCM=∠DCN，

已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N,点M在对角线BD上,且满足∠BAM=∠DAN,∠BCM=∠DCN，求证：M为BD的中点

因为ABCD四点共圆
故∠DAC=∠DBC ∠DCN=∠DBA
故△ADC∽△AMB △DCA∽△MCB
故CD/BM=AC/AB AD/BM=AC/BC
故AB*CD=AC*BM
BC*AD=AC*BM
故AB*CD+BC*AD=2AC*BM
应用托勒密定理（不清楚的话上百度百科，很详细的）
AB*CD+BC*AD=AC*BD
故2BM=BD
所以M为BD中点

事实上若M为BD中点，上述条件（即∠BAM=∠DAN,∠BCM=∠DCN）都成立
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因为ABCD四点共圆 故∠DAC=∠DBC ∠DCN=∠DBA 故△ADC∽△AMB △DCA∽△MCB 故CD/BM=AC/AB AD/BM=AC/BC 故AB*CD=AC*BM BC*AD=AC*BM 故AB*CD+BC*AD=2AC*BM 应用托勒密定理（不清楚的话上百度百科，很详细的） AB*CD+BC*AD=AC*BD 故2BM=BD 所以M为BD中点

比如了