怎样证明重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之

怎样证明重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之

你的“已知G为三角形ABC内一点,三角形GBC、三角形GAC、三角形GAB的面积相等”能证明G点为三角形的角平分线的交点.与题目无关
对于你要证明的“三角形顶点到重心的距离,等于重心到对边中点的距离的2倍”,可假设在三角形ABC中,D、E、F分别其AB、BC、CA的中点,连接AE、BF、CD交于一点H,H就为三角形ABC的重心.于是题目就变成证明AH=2HE,BH=2HF,CH=2HD.
证明：连接DF,于是就有DF平行于BC,且DF=1/2BC,从而三角形HDF相似于三角形HCB,于是
DF/BC=HF/BF=DH/HC=1/2,于是就有BH=2HF,CH=2HD,同理可证AH=2HE

画△abc，ad、be是中线，交于g，求证：ag:gd=2:1

延长gd一倍到q,连结cq，则△bgd≌△cqd,

 ∴gd=dq，∠gbd=∠qcd

 ∴be∥qc

∵e是ac中点

∴g是aq中点

∴ag=gq

∵gd=dq，即gq=2gd

∴ag=2gd

即ag:gd=2:1