估计下列积分的值∫0到2e∧x05-xdx

估计下列积分的值∫0到2e∧x05-xdx

答案为2e^(- 1/4) ≤ ∫(0,2) e^(x² - x) dx ≤ 2e²

设A = ∫(0,2) e^(x² - x) dx
x² - x = (x² - x + 1/4) - 1/4 = (x - 1/2)² - 1/4 ≥ - 1/4
所以A ≥ ∫(0,2) e^(- 1/4) dx = 2e^(- 1/4)

x² - x在x = 1/2处取得最小值，函数在该点左边递减，右边递增
考虑两端点与最小值的距离
在x = 0处，|1/2 - 0| = 1/2
在x = 2处，|2 - 1/2| = 3/2 > 1/2
所以在区间[0，2]内，函数在x = 2处取得最大值
(x² - x)|_(x=2) = 2² - 2 = 2
A ≤ ∫(0,2) e² dx = 2e²

所以范围是：
2e^(- 1/4) ≤ ∫(0,2) e^(x² - x) dx ≤ 2e²

这个范围是在完全不知道积分的大约数值而估计出来的

若知道大概数值的话，可以把范围收窄一点
实际上，∫(0,2) e^(x² - x) dx
= √πe^(- 1/4)/2 * [ Erfi(1/2) + Erfi(3/2)]
≈ 3.58879
而2e^(- 1/4) ≈ 1.5576
而2e² ≈ 14.7781
若进一步收窄范围的话，可取2e ≈ 5.43656
即2e^(- 1/4) ≤ ∫(0,2) e^(x² - x) dx ≤ 2e

∫ lnx dx/x^2 =∫ lnx d (-1/x) = -lnx *1/x -∫(-1/x) d(lnx) = -lnx *1/x -∫-1/x^2 dx = -lnx *1/x -1/x 那么代入上下限正无穷和0 = 0 - lim(x趋于0+)(lnx+1)/x 洛必达法则 = -lim(x趋于0+) 1/x= 负无穷