设∫e^xf(e^x)dx=1/(1+e^2x)+c,则∫e^2xf(e^x)dx=?谁能告诉我详细解法呀?
答案:2 悬赏:0
解决时间 2021-11-25 23:25
- 提问者网友:柠檬香
- 2021-11-25 04:34
设∫e^xf(e^x)dx=1/(1+e^2x)+c,则∫e^2xf(e^x)dx=?谁能告诉我详细解法呀?
最佳答案
- 二级知识专家网友:啵啵桃汀
- 2021-11-25 06:00
[1/(1+e^(2x))+c]'=-1/(1+e^(2x))^2*2e^(2x)=2e^(2x)/(1+e^(2x))^2
因此:e^xf(e^x)=2e^(2x)/(1+e^(2x)))^2
则两边同时乘以e^x得:e^(2x)f(e^x)=2e^(3x)/(1+e^(2x)))^2
则 ∫e^2xf(e^x)dx
=2∫e^(3x)/(1+e^(2x))^2dx
=2∫e^(2x)/(1+e^(2x))^2d(e^x)
令e^x=t,
=2∫ t^2/(1+t^2)^2dt
令t=tanu,dt=(secu)^2du,1+t^2=(secu)^2
=2∫ (tanu)^2/(secu)^4 * (secu)^2du
=2∫ (tanu)^2/(secu)^2 du
=2∫ (sinu)^2 du
=∫ (1-cou2u) du
=u-1/2sin2u+C
=u-sinucosu+C
=arctant-t/(1+t^2)+C
最后将 t 换回e^x即可。
因此:e^xf(e^x)=2e^(2x)/(1+e^(2x)))^2
则两边同时乘以e^x得:e^(2x)f(e^x)=2e^(3x)/(1+e^(2x)))^2
则 ∫e^2xf(e^x)dx
=2∫e^(3x)/(1+e^(2x))^2dx
=2∫e^(2x)/(1+e^(2x))^2d(e^x)
令e^x=t,
=2∫ t^2/(1+t^2)^2dt
令t=tanu,dt=(secu)^2du,1+t^2=(secu)^2
=2∫ (tanu)^2/(secu)^4 * (secu)^2du
=2∫ (tanu)^2/(secu)^2 du
=2∫ (sinu)^2 du
=∫ (1-cou2u) du
=u-1/2sin2u+C
=u-sinucosu+C
=arctant-t/(1+t^2)+C
最后将 t 换回e^x即可。
全部回答
- 1楼网友:厌今念往
- 2021-11-25 07:35
我。。知。。道
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