设锐角三角形ABC中，a＝2bsinA， 则cosA＋sinC的取值范围是

设锐角三角形ABC中，a＝2bsinA， 则cosA＋sinC的取值范围是

a=2bsinA.
a/sinA=2b，由正弦定理得a/sinA=b/sinB
sinB=1/2
因为是锐角Δ
所以B=30， A+C=150
cosA+sinC=cosA+sin（150-A)=cosA+sin(A+30)=1.5cosA+√3/2sinA=√3sin（A+60）
因为是锐角Δ，所以A为锐角，所以A+60在（60，150）
所以当A+60=90时，cosA+sinC有最大值√3
当A+60=150时，cosA+sinC有最小值√3/2
所以cosA+sinC的取值为（√3/2，√3]

解： （1）根据正弦定理： a/sina=b/sinb ∵a=2bsina （化为：a/sina=b/(1/2)） ∴sinb=1/2 ∴∠b=30° （2）∵△abc为锐角三角形 ∴ 0°<∠a＜90°------------------------------------------① 而且0°＜∠b=180°-∠a-∠c=150°-∠a＜90° 即 60°<∠a＜150°---------------------------------------② 综合①②，可以得到：60 °<∠a＜90° cosa+sinc=cosa+sin(150°-a) =cosa+cos（60°-a） =cosa+cos60°cosa+sin60°sina =3/2*cosa+3^（1/2）/2*sina =3^（1/2）*[3^（1/2）/2cosa+1/2*sina] =3^（1/2）*(sin60°cosa+cos60°sina) =3^（1/2）*sin（60°+a） 由③可以得到：120°＜a+60°＜150° ∴ 3^（1/2）/2＜3^（1/2）*sin（60°+a）＜3/2 即： 3^（1/2）/2＜cosa+sinc＜3/2