已知f（x）=ax^2+x对任何实数x1，x2，f[(x1+x2)/2]＞＝[f（x1）+f(x2)]/2恒成立，则a的取值范围，过程

已知f（x）=ax^2+x对任何实数x1，x2，f[(x1+x2)/2]＞＝[f（x1）+f(x2)]/2恒成立，则a的取值范围，过程

先化简直接代入原来式子得
a（x1+x2)2大于等于2a（x1平方+x2平方）
a等于0时显然上述恒成立
当a大于0时，在上述不等式两边同时除以a
得到x1平方+x2平方小于等于2x1x2
这个显然和基本不等式违背，所以舍去
当a小于0时，上述不等式得到得到x1平方+x2平方大于等于2x1x2
这是恒成立的基本不等式
所以综上a小于等于0时才能满足条件

即函数 f(x)是凸函数  a=0   f(x)=x一次函数 显然满足 a≠0  f(x)是向下凹的函数 只需要a≤0 也可以直接 做 哟体验可得a[(x1+x2)/2]²+[(x1+x2)/2]≥(ax1²+x1+ax2²+x2)/2  a(x1+x2)²/4+(2x1+2x2)/4≥(2ax1²+2x1+2ax2²+2x2)/4 (-ax1²+2ax1x2-ax2²)/4≥0 a(x1-x2)²≤0 则a≤0