圆的内接四边形对角线的乘积等于对边乘积之和

圆的内接四边形对角线的乘积等于对边乘积之和

设四边形ABCD内接于⊙O，AC、BD分别是对角线。
在AC上取一点E连结BE，且使∠ABE＝∠DBC，易得△ABE∽△DBC
∴AE/AB=CD/BD,∴AE×BD＝AB×CD……（1）
又由△ABE∽△DBC得∠AEB＝∠BCD
而∠AEB＋∠BEC＝180°，∠BCD＋∠BAD＝180°
∴∠BEC＝∠BAD
又∵∠BCE＝∠BAD
∴△CEB∽△DAB∴CE/BC=AD/BD∴CE×BD＝BC×AD……（2）
（1）+（2）得AE×BD＋CE×BD＝AB×CD＋BC×AD
BD（AE+CE）＝AB×CD＋BC×AD
即BD×AC＝AB×CD＋BC×AD
说明：本题在分析时，首先想到，欲证式的左边是一个积，右边是两个积的和，需将左边变成两个积的和，所以把AC分成两条线段；结合图形，为获得相似三角形，就作∠ABE＝∠DBC使问题得证。

如图，四边形abcd内接于圆o，那么ab*cd+ad*bc=ac*bd 证明： 作∠bae=∠cad，交bd于点e ∵∠abe=∠acd，∠bae=∠cad ∴△abe∽△acd ∴ab/ac=be/cd ∴ab*cd=ac*be ∵∠bac=∠ead，∠acb=∠ade ∴△abc∽△aed ∴bc/de=ac/ad ∴bc*ad=ac*de ∴ab*cd+bc*ad=ac*be+ac*de=ac（be+de）=ac*bd