已知a，b是正数，且a+b=1,求证（ax+by）（ay+bx）≥xy

证明：∵(ax+by)(ay+bx)=a²xy+abx²+aby²+b²xy

=(a²+b²)xy+abx²+aby²

=[(a+b)²-2ab]xy+abx²+aby²

=(1-2ab)xy+abx²+aby²

=xy-2abxy+abx²+aby²

=xy+ab(x²-2xy+y²)

=xy+ab(x-y)²

∵a、b是正数，(x-y)²≥0

∴ab(x-y)²≥0

∴xy+ab(x-y)²≥xy

即：(ax+by)(ay+bx)≥xy

原题得证

因为a+b=1,因此a²+b²=(a+b)²-2ab=1-2ab.(ax+by)(ay+bx)-xy=abx²+aby²+(a²+b²-1)xy=ab[x²+y²+(a²+b²-1)xy/ab]=ab(x-y)²≥0.证毕。不知道x,y的正负情况下柯西不等式不能乱用

因为:a和b是正数，所以:a>0,b>0(0不是正数)

且:a+b=1

故:a和b在0和1之间

假设:a=0.2,b=0.8[随便取数代入只要符合0<a(b)<1和a+b=1就好了]

代入:(0.2x+0.8y)(0.2y+0.8x)≥xy

当x=y时(ax+by)(ay+bx)=xy

当x≠y时(ax+by)(ay+bx)>xy

ax+by>=2根号abxy

ay+bx>=2根号abxy

所以（ax+by）（ay+bx）>=4abxy

且a+b=1所以2根号ab<=1

所以4ab<=1

所以（ax+by）（ay+bx）≥xy

（ax+by）（ay+bx）打开等于

(a平方xy)+(b平方xy)+(y平方ab)+(x平方ab)

前两项合并！后两项合并

得到！（a平方+b平方）xy+ab(x平方+y平方)

（a平方+b平方+2ab-2ab）xy+ab(x平方+y平方)

(a+b)平方xy--2abxy+ab(x平方+y平方)

a+b=1

xy--2abxy+ab(x平方+y平方)=xy+ab(x平方+y平方--2xy)

得到xy+ab{(x-y)平方}

a ,b 为正数。(x-y)平方也为正数所以ab{(x-y)平方}为正数！所以xy+ab{(x-y)平方>xy

如果！X=Y xy+ab{(x-y)平方=xy

所以（ax+by）（ay+bx）≥xy