已知：如图，BC为半圆的直径，O为圆心，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E．（1）求证：△

已知：如图，BC为半圆的直径，O为圆心，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E．（1）求证：△ABE∽△DBC；（2）已知BC=52，CD=52，求sin∠AEB的值；（3）在（2）的条件下，求弦AB的长．

解答：（1）证明：∵BC为半圆的直径，
∴∠BAE=∠BDC=90°．
∵D是弧AC的中点，
∴∠ABE=∠DBC．
∴△ABE∽△DBC．

（2）解：在RT△DCB中，
∵∠BDC=90°，BC=
5
2 ，CD=




5
2 ，
∴BD=



5 ．
∴sin∠DCB=BD：BC=
2



5
5 ．
∵△ABE∽△DBC，
∴∠AEB=∠DCB．
∴sin∠AEB=
2



5
5 ．

（3）解：∵∠AEB=∠DEC，
∴sin∠DEC=
2



5
5 ．
∴EC=1.25，DE=




5
4 ，BD=



5 ．
BE=BD-DE=
3



5
4 ，AB=
3



5
4 ×sin∠AEB=1.5．

证明（1）：bc是直径，d是弧ac的中点

故∠bae=∠bdc=90，∠abe=∠dbc=1/2∠abc

故△abe∽△dbc

(2)bc=5/2，cd=√5/2

故bd=√5

∠aeb=∠ced，∠bae=∠bdc=90

故△abe∽△ced∽△dbc

从而ce/bc=cd/bd

ce=5/4

sin∠aeb=sin∠ced=cd/ce=（√5/2）/（5/4）=2√5/5

(3)cd=√5/2,ce=5/4

de=√5/4,bd=√5

be=bd-de=√5-√5/4=3√5/4

sin∠aeb=ab/be=ab/(3√5/4)=2√5/5

ab=3/2