积分第二中值定理 为什么要求单调

积分第二中值定理 为什么要求单调

先看看定理内容：
设f(x)在[a,b]上可积，g(x)在[a,b]上单调,
则存在ξ∈[a,b]，使得
∫(a,b) f(x)g(x)dx
= g(a)∫(a,ξ) f(x)dx + g(b)∫(ξ,b) f(x)dx ①
特别地，若对于任意x∈[a,b]有f(x)=1=const，则①式退化为：
存在ξ∈[a,b]，使得
∫(a,b) g(x)dx = g(a)(ξ-a)+g(b)(b-ξ)

单调就是曲线不存在平坦的线段
否则，例如水平线y = a，不具有单调性
则积分∫(a,a) f(x)g(x) dx = 0，何来中值定理？

第二中值定理：设f(x)在[a,b]上可积，g(x)在[a,b]上单调, 则存在ξ∈[a,b]，使得 ∫(a,b) f(x)g(x)dx = g(a)∫(a,ξ) f(x)dx + g(b)∫(b,ξ) f(x)dx 积分第一中值定理：若f(x)在[a, b]上连续，则在[a, b]上至少存在一点ξ，使 ∫(a,b) f(x)dx = f(ξ)(b - a) 设g(x)为f(x)的原函数。 由第一中值定理得 在[a,b]中存在e 使 ∫(a,b) f(x)g(x)dx=g(b)g(b)-g(a)g(a)+g(e)g(a)-g(e)g(b) 而要证的部分（第二中值定理等式右边) 要证ξ存在 因为g(a)∫(a,ξ) f(x)dx + g(b)∫(b,ξ) f(x)dx=g(b)g(b)-g(a)g(a)+g(ξ)g(a)-g(ξ)g(b) 故 因为存在e使∫(a,b) f(x)g(x)dx=g(b)g(b)-g(a)g(a)+g(e)g(a)-g(e)g(b)成立 只要ξ=e 即有第二中值定理等式成立 故ξ存在