若a=1/2,求f(x)的单调区间
若当x>=0时f(x)>=0,求a的取值范围
我要问的是第二问为什么不能这样做:
(1)
当a=1/2时,f(x)=x*(e^x-1)-(1/2)x^2
则,f'(x)=(e^x-1)+x*e^x-x=(e^x-1)+x*(e^x-1)=(x+1)*(e^x-1)
则,当f'(x)=0时,有:x=-1,x=0
所以:
当x<-1时,f'(x)>0,则f(x)单调递增;
当-1<x<0时,f'(x)<0,则f(x)单调递减;
当x>0时,f'(x)>0,则f(x)单调递增。
(2)
由(1)问得e^x(x+1)>=x+1
所以f `(x)>=(1-2a)x 从而当1-2a>=0即a<=1/2时f `(x)>=0 又f(0)=0
所以f(x)>=0成立
而经验证当a大于1/2时f(x)<=0不成立
所以a的取值范围是负无穷到1/2
设函数f(x)=x(e^x-1)-ax^2 求高手中的高手!!
答案:4 悬赏:50
解决时间 2021-02-28 18:46
- 提问者网友:无悔疯狂
- 2021-02-28 14:58
最佳答案
- 二级知识专家网友:我叫很个性
- 2021-02-28 16:15
答:只回答第二问
f(x)=x(e^x-1)-ax^2
x>=0时f(x)>=0
f(x)=x(e^x-1)-ax^2>=0恒成立
x(e^x-1)>=ax^2恒成立
显然,x=0时成立;
x>0时:e^x-1>=ax
a<=(e^x-1)/x
设g(x)=(e^x-1)/x
求导:g'(x)=(e^x)/x-(e^x-1)/x^2=(xe^x-e^x+1)/x^2
设h(x)=xe^x-e^x+1
求导:h'(x)=e^x+xe^x-e^x=xe^x>0恒成立
所以:h(x)是单调递增函数,h(x)>h(0)=0-1+1=0
所以:g'(x)=h(x)/x^2>0恒成立
所以:g(x)是单调递增函数,g(x)>g(0)=lim(x→0)(e^x-1)/x=1
所以:a<=1<(e^x-1)/x
所以:a<=1
f(x)=x(e^x-1)-ax^2
x>=0时f(x)>=0
f(x)=x(e^x-1)-ax^2>=0恒成立
x(e^x-1)>=ax^2恒成立
显然,x=0时成立;
x>0时:e^x-1>=ax
a<=(e^x-1)/x
设g(x)=(e^x-1)/x
求导:g'(x)=(e^x)/x-(e^x-1)/x^2=(xe^x-e^x+1)/x^2
设h(x)=xe^x-e^x+1
求导:h'(x)=e^x+xe^x-e^x=xe^x>0恒成立
所以:h(x)是单调递增函数,h(x)>h(0)=0-1+1=0
所以:g'(x)=h(x)/x^2>0恒成立
所以:g(x)是单调递增函数,g(x)>g(0)=lim(x→0)(e^x-1)/x=1
所以:a<=1<(e^x-1)/x
所以:a<=1
全部回答
- 1楼网友:星星坠落
- 2021-02-28 20:11
因为第一问的题设a=1/2不能用到第二问中,你是按前提a=1/2算的。所以不对
- 2楼网友:飘零作归宿
- 2021-02-28 18:38
由(1)问得e^x(x+1)>=x+1
这句话错了。第一小题有个前提a=1/2。如果a=2,你去算一算单调区间肯定变了
- 3楼网友:放肆的依賴
- 2021-02-28 17:39
解:若a=1/2,则f(x)=x(e^x-1)-1/2x^2,所以f"(x)=e^x-1+xe^x-x=(e^x-1)(x+1).令f"(x)>0时,得x<-1或x>0.所以f(x)在(-&,-1)和(0,+&)为增函数,在(-1,0)上为减函数。 注意&表示无穷大。
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