已知数列{an}满足3an+1+an=4,a1=9,前n项和为sn,则满足不等式/sn-n-6/<1/2013的最小正整数为
求过程
已知数列{an}满足3an+1+an=4,a1=9,前n项和为sn,则满足不等式/sn-n-6/
答案:2 悬赏:0
解决时间 2021-03-22 09:13
- 提问者网友：说不出醉人情话
- 2021-03-22 00:58
最佳答案
- 二级知识专家网友：萌萌哒小可爱
- 2021-03-22 01:28
3a(n+1)+an=4
3a(n+1)=-an+4
3a(n+1)-3=-an+4-3=-an+1=-(an -1)
[a(n+1)-1]/(an -1)=-1/3，为定值
a1-1=9 -1=8，数列{an -1}是以8为首项，-1/3为公比的等比数列
an -1=8×(-1/3)^(n-1)
an=1+ 8×(-1/3)^(n-1)
Sn=a1+a2+...+an
=n+8×[1+(-1/3)+...+(-1/3)^(n-1)]
=n+8×1×[1-(1/3)^n]/[1-(-1/3)]
=n+6- 6×(-1/3)^n
|Sn-n-6|<1/2013
|n+6-6×(-1/3)^n-n-6|<1/2013
6×(1/3)^n<1/2013
(1/3)^n<1/12078
3^n>12078
6561<12078<19683
3^8<12078<3^9
要不等式成立，n≥9
n的最小值为9
3a(n+1)=-an+4
3a(n+1)-3=-an+4-3=-an+1=-(an -1)
[a(n+1)-1]/(an -1)=-1/3，为定值
a1-1=9 -1=8，数列{an -1}是以8为首项，-1/3为公比的等比数列
an -1=8×(-1/3)^(n-1)
an=1+ 8×(-1/3)^(n-1)
Sn=a1+a2+...+an
=n+8×[1+(-1/3)+...+(-1/3)^(n-1)]
=n+8×1×[1-(1/3)^n]/[1-(-1/3)]
=n+6- 6×(-1/3)^n
|Sn-n-6|<1/2013
|n+6-6×(-1/3)^n-n-6|<1/2013
6×(1/3)^n<1/2013
(1/3)^n<1/12078
3^n>12078
6561<12078<19683
3^8<12078<3^9
要不等式成立，n≥9
n的最小值为9
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- 1楼网友：都不是誰的誰
- 2021-03-22 02:03
解：对3a(n+1)+an=4 变形得：
3[a(n+1)-1]=-(an-1)
a(n+1)/an=-1/3
an=8*(-1/3)^(n-1)+1
sn=8{1+(-1/3)+(-1/3)^2+……+(-1/3)^(n-1)]+n
=6-6*(-1/3)^n+n
|sn-n-6|=|-6*(-1/3)^n|<1/125
故：n=7
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