已知正项数列{an}满足：a1=1，且（n+1）an+12=nan2-an+1an，n∈N*（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设

已知正项数列{an}满足：a1=1，且（n+1）an+12=nan2-an+1an，n∈N*（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{1an}的前n项积为Tn，求证：当x＞0时，对任意的正整数n都有Tn＞xnex．

（I）∵（n+1）an+12-nan2+an+1an=0
∴an+1＝
?1±



1+4n(n+1)
2(n+1) an＝
n
n+1 an（另解-an不合题意舍去），
∴
a2
a1 ?
a3
a2
an
an?1 ＝
1
2 ，
即
an
a1 ＝
1
n ，an＝
1
n ，n∈N+，
（II）由（I）得：Tn=n!，
当x＞0时，Tn＞
xn
ex 等价于xn＜n!ex  ①
以下用数学归纳法证明：
①当n=1时，要证x＜ex，令g（x）=ex-x，
则g′（x）=ex-1＞0，
∴g（x）＞g（0）=1＞0，即x＜ex 成立；
②假设当n=k时，①式成立，即xk＜k!ex，那么当n=k+1时，
要证xk+1＜（k+1）!ex也成立，
令h（x）=（k+1）!ex-xk+1，则h′（x）=（k+1）!ex-（（k+1）xk
=（k+1）（k!ex-xk），
由归纳假设得：h′（x）＞0，
∴h（x）＞h（0）=（k+1）!＞0，
即xk+1＜（k+1）!ex也成立，
由①②即数学归纳法原理得原命题成立．

1 解a1+2a2+3a3+……+nan+(n+1)a(n+1)＝ns(n+1)+2(n +1) 减去题中的式子得，(n+1)a(n+1)=ns(n+1)-(n-1)sn+2 a(n+1)=s(n+1）-sn，所以s(n+1)=2sn+2,s(n+1)+2=2(sn+2), a1=s1=2,所以sn+2是以4为首项，2为公比的等比数列 所以sn+2=4*2^(n-1),s(n+1)+2=4*2^n,a(n+1)=2^(n+1),an=2^n