用定义求 exp(x^2) 的导数

用定义求 exp(x^2) 的导数

2xexp(x^2)

⊿y=e^(x+⊿x)-a^x=e^x(e^⊿x-1) exp'(x)=⊿y/⊿x=e^x(e^⊿x-1)/⊿x 如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β＝e^⊿x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：⊿x=ln(1+β)。 所以(e^⊿x-1)/⊿x＝β/ln(1+β)=1/[ln(1+β)^(1/β)] 显然，当⊿x→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^(1/β)=e, 所以lim(β→0)1/ln(1+β)^(1/β)=1/lne=1。 把这个结果代入lim(⊿x→0)⊿y/⊿x=lim(⊿x→0)e^x(e^⊿x-1)/⊿x后 得到lim(⊿x→0)⊿y/⊿x=e^x。 即：exp'(x)=e^x=exp(x) 里面关键是换了一下元，用了一下重要极限。