已知abc是正数，求证a^2a*b^2b*c^2c大于等于a^(b+c)*b^(c+a)*c^(a+b)

已知abc是正数，求证a^2a*b^2b*c^2c大于等于a^(b+c)*b^(c+a)*c^(a+b)

a^2a * b^2b * c^2c
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a^(b+c) * b^(c+a) * c^(a+b)
= (a/b)^a ·(a/c)^a ·(b/a)^b ·(b/c)^b ·(c/a)^c ·(c/b)^c
= (a/b)^a ·(b/a)^a ·(b/a)^(b-a) ·(a/c)^a ·(c/a)^a ·(c/a)^(c-a) ·(c/b)^c ·(b/c)^c ·(b/c)^(b-c)
=(b/a)^(b-a) ·(c/a)^(c-a) ·(b/c)^(b-c)
上式中每一项都为(x/y)^(x-y)形式
若x>y，则为大于1的数的正数次幂，大于1
若x<y，则为小于1的正数的负数次幂（即相应正数次幂的倒数），仍大于1
若x=y则恰好等于1
亦即(b/a)^(b-a)、(c/a)^(c-a)、·(b/c)^(b-c)都大于等于1
那么
a^2a * b^2b * c^2c
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a^(b+c) * b^(c+a) * c^(a+b)
=(b/a)^(b-a) ·(c/a)^(c-a) ·(b/c)^(b-c)≥1
故有 a^2a * b^2b * c^2c ≥ a^(b+c) * b^(c+a) * c^(a+b)

先证a^ab^b≥a^bb^a,即（a/b)^a≥(a/b)^b,若a≥b,则a/b≥1,（a/b)^a≥(a/b)^b;若a(a/b)^b,故总有a^ab^b≥a^bb^a 同理a^ac^c≥a^cc^a b^bc^c≥b^cc^b 故a^2a × b^2b × c^2c ≥a^（b+c） × b^（c+a） × c^（a+b）