已知函数f（x）=exa+aex（a＞0，a∈R）是R上的偶函数．（1）求a的值...

已知函数f（x）=exa+aex（a＞0，a∈R）是R上的偶函数．（1）求a的值...

解：（1）由题意f（x）=exa+aex，（a＞0）且f（-x）=f（x）恒成立，∴e-xa+ae-x=exa+aex恒成立，化简得1aex+aex=exa+aex恒成立，∴a=1a，解得a=1或-1（舍），∴a=1．（2）由（1）知f（x）=ex+1ex，f′(x)=ex-1ex，∵当x≥0，ex≥1，0＜1ex≤1，∴f′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，所以函数f（x）在[0，+∞）上单调递增．（3）由（1）（2）可知，原函数在（-∞，0]上递减，在[0，+∞）上递增，且ymin=f（0）=2，对于区间[t，t+1]，当t≤-1时，t+1≤0，原函数在[t，t+1]上递减，所以ymin=f（t+1）=et+1+1et+1，当-1＜t≤0时，t＜0≤t+1，原函数在[t，0]上递减，在[0，t+1]上递增，所以ymin=f（0）=2，当t＞0时，原函数在[t，t+1]上递增，所以ymin=f（t）=et+1et，综上g（t）={et+1+1et+1，t≤-12，-1＜t≤0et+1et，t＞0．