斯托克斯公式的理解问题

如果把斯托克斯公式的左边理解成一个力F在一条封闭曲线Γ上做的功，那么很显然这个环积分的值与坐标系的选择是无关的，但是对于右边的旋度在曲面∑上的通量，怎么说明它也与坐标系的选择无关？

我不知道你想问什么，因为所有积分的值都与坐标系无关，那是因为有所谓的“微分的形式不变性”，或者讲“换元法”。换元法说的就是一个坐标内的积分，可以在另一个（微分等价的）坐标内来做。

而旋度也是与坐标无关的定义，虽然在有坐标的时候，它按照坐标来定义，但是不管你怎么定义，对E^3的向量场X，设和它对偶的一次形式场为w，也就是w(Y) = ，dw是二次形式场，设Z是和*dw(*是Hodge star operator)对偶的那个向量场，那么Z就是X的旋度。你可以验证下这个定义和一般基于坐标的定义一致，并且满足上面给的方程（实际上上面给的方程也用来定义旋度）。这些定义都是不依赖于坐标的，也就是说，旋度是几何量。

不知道这是不是你要问的。

更具体一点：
设 w 是 与 F 对偶的一次形式场，用 \int_C 记在封闭路径 C 上的线积分，\int_S 是在曲面 S 上的面积分。ds 是 C 上的线元，dS 是 S 上的面元。i : C -> E^3 是包含映射, i^*是回拉。T 是 C 上的单位切向量，n 是 S 上的单位外法向量。
那么左边 \int_C
= \int_C < F, T*ds>
= \int_C ds
= \int_C w(T) ds
注意到 (i^*)(w)(T) = w(T) = w(T)*ds(T)
所以 (i^*)(w) = w(T)ds
这个式子说，w 在 C 上的限制，等于w(T)ds
所以上面的积分 \int_C w(T) ds
= \int_C (i^*)(w) （由 Stokes 公式）
= \int_S dw

记 curlF 是 F 的旋度，则

= (*dw)(n)

对任意S上一点的单位正交切向量X, Y, dS(X,Y)=1

所以 dS ( X,Y)
=
= (*dw)(n)
= dw(X, Y)

所以 dS = dw

所以上面的积分等于右边。

设γ为分段光滑的空间有向闭曲线，s是以 为边界的分片光滑的有向曲面，γ的正向与s的侧符合右手规则，函数p(x,y,z)、q(x,y,z)、r(x,y,z)在曲面s（连同边界γ）上具有一阶连续偏导数，则有 旋度定理可以用来计算穿过具有边界的曲面，例如，下图中，任何右边的曲面；旋度定理不可以用来计算穿过闭曲面的通量，例如，任何左边的曲面。在这图内，曲面以蓝色显示，边界以红色显示。 这个公式叫做 上的斯托克斯公式或开尔文－斯托克斯定理、旋度定理。这和函数的旋度有关，用梯度算符可写成： 另一种形式 通过以下公式可以在对坐标的曲线积分和对面积的面积积分之间相互转换： 流形上的斯托克斯公式 令m为一个可定向分段光滑n维流形，令ω为m上的n-1阶 类紧支撑微分形式。如果 表示m的边界，并以m的方向诱导的方向为边界的方向，则 这里dω是ω的外微分, 只用流形的结构定义。这个公式被称为一般的斯托克斯公式（generalized stokes' formula），它被认为是微积分基本定理、格林公式、高－奥公式、 上的斯托克斯公式的推广；后者实际上是前者的简单推论。 该定理经常用于m是嵌入到某个定义了ω的更大的流形中的子流形的情形。 定理可以简单的推广到分段光滑的子流形的线性组合上。斯托克斯定理表明相差一个恰当形式的闭形式在相差一个边界的链上的积分相同。这就是同调群和德拉姆上同调可以配对的基础。 [2]