怎么证明形如3n-1的素数有无穷多个

怎么证明形如3n-1的素数有无穷多个

假设这样的素数只有有限个，设P是其中最大的一个。
考虑整数N=3*5*7*...*p -1 （3*5*7*...*p 表示所有小于等于p的奇素数的乘积）；很明显N是3n-1形的，N大于p，由p的假设，N是合数，故N的所有素因数必须大于P；余下的自己去想，推出矛盾，反证法就出来了。《数论讲义》第二版，柯召孙琦，高等教育出版社，认真学吧

证明 先说明一个简单常识，如果形如(3k+2)的数不是素数，必有形如(3k+2)的素因数，否则形如(3k)，(3k+1)的数是怎么也乘不到形如(3k+2)这样的数的 再看这道题 如果是有限个，设最大的一个是3k+2 那么将3k+2之前的除去3的所有素数乘起来 2*5*7*11*......(3k+2) 令s=2*5*7*11*......(3k+2) 由于s中没有素因数3，所以s不是3的倍数，只能是3n+1或者3n+2的形式，而且还是偶数 如果是3n+1，那么s+1就是3n+2的形式，但是他不含有2——(3k+2)中的任意一个数为因数，因此就不能有形如(3k+2)的因数 如果是3n+2，那么s+3还是3n+2的形式，但是他也不含有2——(3k+2)中的任意一个数为因数，因此就不能有形如(3k+2)的因数 那么就说明都存在一个比3k+2还大的形如（3n+2）的数他只能是素数，与假设矛盾 所以原命题得证