已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)经过点(1,根号3/2),且离心率为根号3/2,过点B(-1,0)能否做直线l,
答案:4 悬赏:40
解决时间 2021-03-12 12:40
- 提问者网友:朱砂泪
- 2021-03-11 17:08
已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)经过点(1,根号3/2),且离心率为根号3/2,过点B(-1,0)能否做直线l,使直线l与椭圆C交于M,N两点。且以MN为直径的圆经过坐标原点O,求出l的方程
最佳答案
- 二级知识专家网友:我颠覆世界
- 2021-03-11 17:31
解:
根据题意,易得椭圆C方程为x^2/4+y^2=1。设过点B(-1,0)的方程为y=k(x+1),交椭圆C于点M(x1,y1)、N(x2,y2)。联立方程组
x^2/4+y^2=1 ①
{
y=k(x+1) ②
将方程②代入方程①,化简整理得(4k^2+1)x^2+8k^2*x+(4k^2-4)=0
由韦达定理可得
x1+x2=-8k^2/(4k^2+1) ③
{
x1*x2=(4k^2-4)/(4k^2+1) ④
由于以MN为直径的圆经过坐标原点O,则有△MON为RT三角形。根据勾股定理有
(x1^2+y1^2)+(x2^2+y2^2)=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2
化简得x1*x2+y1*y2=0,结合式②,将y1=k(x1+1) 及y2=k(x2+1) 代入并化简得
k^2-4=0
解得k=±2
也即存在两条直线l:
y=±2(x+1) ,使直线l与椭圆C交于M,N两点,且以MN为直径的圆经过坐标原点O。
当然在前述设直线l的方程时,没有考虑直线x=-1的情况。经验算可知交点为(-1,√3/2)、(-1,-√3/2),不满足条件。
根据题意,易得椭圆C方程为x^2/4+y^2=1。设过点B(-1,0)的方程为y=k(x+1),交椭圆C于点M(x1,y1)、N(x2,y2)。联立方程组
x^2/4+y^2=1 ①
{
y=k(x+1) ②
将方程②代入方程①,化简整理得(4k^2+1)x^2+8k^2*x+(4k^2-4)=0
由韦达定理可得
x1+x2=-8k^2/(4k^2+1) ③
{
x1*x2=(4k^2-4)/(4k^2+1) ④
由于以MN为直径的圆经过坐标原点O,则有△MON为RT三角形。根据勾股定理有
(x1^2+y1^2)+(x2^2+y2^2)=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2
化简得x1*x2+y1*y2=0,结合式②,将y1=k(x1+1) 及y2=k(x2+1) 代入并化简得
k^2-4=0
解得k=±2
也即存在两条直线l:
y=±2(x+1) ,使直线l与椭圆C交于M,N两点,且以MN为直径的圆经过坐标原点O。
当然在前述设直线l的方程时,没有考虑直线x=-1的情况。经验算可知交点为(-1,√3/2)、(-1,-√3/2),不满足条件。
全部回答
- 1楼网友:眠于流年
- 2021-03-11 21:10
f(c,0),于是直线l1(k=1时):x-y-c=0
o到l1的距离:√2/2=c/√2,c=1
e=√3/3=c/a,a=√3,b=√2
∴椭圆为:x^2/3+y^2/2=1
把坐标平面看做复平面:向量oa、ob、op对应复数z1、z2、z3;对应点a(x1,y1)、b(x2,y2)、p(x3,y3)
于是:向量op=向量oa+向量ob等价于z3=z1+z2等价于x3=x1+x2,y3=y1+y2
设直线l为:x=ty+1(当然也可以设为y=k(x-1))代入椭圆方程有:
(2t^2+3)y^2+4ty-4=0,
y3=y1+y2=-4t/(2t^2+3)
x3=x1+x2=t(y1+y2)+2=2-4t^2/(2t^2+3)=6/(2t^2+3)
p在椭圆上代入解得:t=±√42/2
∴l为:2x±√42y-2=0.
- 2楼网友:一起来看看吧
- 2021-03-11 20:23
先把椭圆写出来啊。知道经过一个定点,还知道离心率,就能求出椭圆方程了。
- 3楼网友:我颠覆世界
- 2021-03-11 19:00
令m,n =a^2。b^2
带入方程组得出M=4,n=1
即就是1/4x^2+y^2=1
设方程为Y=k(x+1)
带入椭圆方程,消去Y
(1+4k^2)+8k=0
2r=8k(1+k^2)^(1/2)/(1+4k^2)
r=k/(1+k^2)^(1/2)
联力方程组求解即可
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