1是不是质数

1是不是质数

打开国中的数学教科书，我们可以看到质数的定义：一个大于1的整数，如果除了1和它自己之外，再也没有其它的因子，这个整数就叫做质数。

因此，质数 （又叫做素数）就是2,3,5,7,11,…¨，其中的2是唯一的偶质数。

高中的数学教科书，也是采用同样的定义。两者都有「排除掉1的条款」，即规定1不质质数。

但是，对于：为什么要有「排1条款」？或者更基本的问题：为什么会出现这个定义？国中与高中的教科书都只字未提，这是美中不足之处。

在数学中，一个概念的形成，往往是经过分析、比较、试误、选择、抽取适当的特征性质，最后才结晶出来的。如果没有这个探索过程就给出定义，则易沦为「填鸭式的背记」，采撷花朵而得不到花的美丽。

初步的定义

自然数1,2,3,4,5,…¨是每个人最早遇到的数，我们先学习四则运算，然后再进到数的性质与结构之探究。

德国数学家克罗内克（Kronecker，1823-1891）说：自然数是神造的，其它都是人为的。

笔者有位朋友，他的女儿8岁，就读于小学三年级。在一个偶然的机会下，她发现有些数不能被任何其它的自然数（1除外）整除，例如7,11,23,97,239。在还末学过质数概念的情况下，她给这类数命名为「不公平数」。问她为什么要这样取名？她回答说：「因为这些数无法在几个人之间公平分享。」

这件事情虽然微不足道，但是对这位小学生而言却经历了有如科学家的发现新知或洞察隐藏奥密之欣喜。如何将这种求知的敏锐灵气继续开展化育，乃是教育的重责大任。教育最高的境界就是布置一个求知的环境，不着痕迹地让学生好象是自己发现到真理。在历史上，苏格拉底的教学法似乎是比较接近这种理想的启发式教学法。

话说回来，这位小学生发现到的就是质数的概念。我们帮她结晶成下面的定义：

定义1：一个自然数n，如果除了1与自身n之外，不能被其它的自然数整除，那么n就叫做质数（或不公平数）。

因此，1,2,3,5,7,11,……都是质数，此时没有排1条款。

算术基本定理

如果将「自然数的集合」与「大自然」互相对照，那么「质数」（不可分解）就相当于「原子」（本义是不可分割）。古希腊哲学家思索大自然的结构与生成变化而提出原子论（atomism）。同样地，他们研究自然数本身的结构、性质与关系而发展出算术（arithmetic）。另一方面，日常生活中实用的计算术，他们称之为逻辑斯提克（logistic，意指后勤补给）。因此，古希腊的算术就是今日的数论（number theory）。

详言之，古希腊哲学家面对大自然的森罗万象，眼见存有的神奇奥秘与变化万千（Enigmas of Being and Becoming），终于领悟到素朴原子论的分析观：万有都是原子组成的，原子永恒不变，它们在虚空（Void）中永不止息地运动着，作各种不同的排列与组合就产生万物。大自然的现象都按照一定的机制（mechanism）来发生。只有原子与虚空是最终的真实（the ultimate reality），其它的都是一时一地的意见（opinions）而已。

把这种素朴原子论的分析观，类推到自然数的领域，古希腊数学家发现了相应的自然数的结构定理：

定理1：（初步的算术基本定理）任何自然数都可以表成质数的乘积。

这可比美于「万有都是原子组成的」之伟大灵悟。然而，美中不足的是，质因子的分解法不唯一，甚至有无穷多种表法，例如

5=1×5=1×1×5=…

12=2×2×3=1×2×2×3=1×1×2×2×3=…这是因为把1当作质数（原子）才会这样。

进一步的定义

显然，我们不喜欢这种没有唯一性的表法，改正之道是把1排除掉，不看作是质数。于是我们将定义1修正成：

定义2：设n为一个大于1的自然数，如果除了1与自身n之外，没有其它的因子，那么n就叫做质数。一个大于1的自然数，若不是质数，就叫做合数（composite number）。因此，自然数分成三类：1，质数与合数。1这一类只有一个元素，其余两类都各含有无穷多个元素。

在这个新定义下，自然数的结构定理，轨可以叙述成如下美妙的结果：

定理2：（算术基本定理）

（i）存在性：任何大于1的自然数都可以分解成质数的乘积。

（ii）唯一性：任何大于1的自然数n，若有两种质因子的分解。

其中要求P1≤P2≤……≤Pl且q1≤q2≤……≤qm

那么就有l=m，并且我们注意到，由于不把1当作质数，放在定理2的叙述中，要加上「任何大于1的自然数」这个条件，稍微麻烦，但是却得到「唯一性」的妙果。我们可以忍受一点麻烦，以换取更好的结果。

对于「唯一性」，一般人常犯的一个错误是，写出n约两个质因子分解式，未经过排序就急着说对应项的质数相等。

每年上大一的微积分课，笔者都会问学生：什么是算术基本定理？结果几乎都没有人会，即使会一点，也往往漏掉唯一性，这实在今人遗憾。

算术基本定理使我们对自然数的结构有个清晰的了解，利用它，我们可以证明√2为无理数，这是很自然的事。

定理3：√2为无理数。

证明，假设√2为有理数，于是可令√2=n/m其中m与n为两个自然数。将上式平方得

2m2=n2

由算术根本定理知，m与n可作唯一形成的质因式分解。从而，左边2的因子有奇数个，右边2的因子有偶数个，这是一个矛盾。由归谬法知，√2为无理数。

更多的理由

我们不把1当作质数，除了上述已说过的一个理由，另外还有两个，一共是三个理由：

（i）为了让自然数的质因子分解具有唯一性。

（ii）1跟其它质数2,3,5,7,…¨还是有所不同。1的因子只有一个1，其它的质数都有1与自己一共有两个因子，故1的因子和为1自己，其它质数的因子和为l+p，比p大1。

（iii）古希腊人不把1看作一个数，而把它看作一个「单子」（monad），一个不可分割的单位，是生成所有数的「母数」（1生2=l+l，2生3=2+l）

两个定义的优劣比较

我们将上述的讨论再作整理，以方便比较。如果将1看作是质数，那么就有：

（i）自然数分成两类，即质数类与合数类。

（ii）任何自然数皆可分解成质因子之乘积，但分解法不唯一。

如果不把1看作是质数，那么就有：

（i）自然数分成三类：1，质数类与合数类。

（ii）任何大于1之自然数，其质因子分解，存在且唯一。

另外，在数论中有一个著名的哥巴赫猜测。哥巴赫（Goldbach,1690-1764）观察到

2=1+1

4=1+3=2+2

6=1+5=3+3

8=3+5

10=3+7=5+5

12=5+7

14=3+11=7+7

16=3+13=5+11等等于是他在1742年写信给尤拉（Euler,1707-1783），大胆地猜测：

任何偶数都可以表成两个奇质数之和。这就是鼎鼎有名的「哥巴赫猜测」，至今还未能证明。

哥巴赫将1也看成质数，才有上述简洁的猜测。如果不将1看作是质数，那么就应该修饰为：

任何大于4的偶数都可以表成两个奇质数之和。如果再把「奇」字弃掉，那么哥巴赫猜测就是任何大于2的偶数都可以表成两个（不必相异的）质数之和。

要不要把1看成是质数，正、反两方的理由都有，两方面的优劣点都明白了，达到「知所异同，方窥全貌」，然后再作选择，并且对自己的选择负责，这样才是一个知性成熟的人，才不致于被「偏见」牵着鼻子走。

数学家选择了「1不是质数」，因为算术基本定理中的唯一性最重要，不容破坏，其它的都是次要的。因此，我们就选择定义2，当作质数的最终定义。

规约

但是，事情并未一劳永逸。我们引述坡里雅（G. Polya）的一段话：

逻辑家嘲笑数学家说：「看那位数学家，他观察1到99的数都小于100，于是就应用他所谓的归纳法，得到所有自然数都小于100的结论。」数学家说：「看那位物理学家，他竟相信60可被所有的自然数整除，理由是：他观察过60可被1,2,3,4,5,6整除，并且也可被他「任取」的10,20,30整除，故他相信实验的证据可以充分支持他的论点。」然后物理学家开腔说：「是的，但是你们看那位工程师，他认为所有的奇数都是质数，理由是：1可视为质数，而3,5,7也都是质数，可恨的是9不是质数，但这是实验误差所致，你们看11与13又是质数了。」

在物理学家的讲话中，把1看作是质数，反而方便，不会引起困扰，这是一种权宜。换言之，1多少具有双重的身份，好象是电子，有时是「粒子」，有时又是「波」。我们不应那么死板。从某种意味来说，人是意义的赋予者与创造者。

即使我们已经规定「1不是质数」，数学家有时为了叙述上的方便，采取较宽松的态度，又将1看作是质数。这一点儿都不应构成困扰，请不要咬文嚼字。

我们要强调，「1不是质数」是一种方便的规约（convention），这表示若规定「1是质数」也可以，只是会产生我们不喜欢的一些后果。规约并不是天经地义的！我们的取舍原则是，两害相权取其轻，两利相权取其重（极值原理）。

又如，我们可以规定「0是自然数」，也可以规定「0不是自然数」，各有利弊。比较常见的是选取后者。

结语

原子论的分析观，不只是在研究大自然与自然数时有用，其实在任何其它领域都能让人「眼睛一亮」。

我们列出下面的对照表：

大自然 自然数

原子 质数

单子 1

化合物 合成数

原子109种 质数有无穷多个

化学键 乘法

凡物质皆由原子组成 算术基本定理

数学中的定义与规约必须方便、合理，理论必须没有矛盾，这是普通常识。除此之外，数学应该没有限制，这就是集合论的创始者康托（G. Cantor,1845-1918）所说的：

数学的本质在于它的自由。（The essence of mathematics lies in its feedom.）这句话是康托创立集合论（研究「无穷本身」）时，受到他的老师克罗内克（Kronecker，1823-1891）之反对，所提出的辩护。数学的自由是在逻辑之下的自由，就像现代的文明人必须在法律与尊重他人之下才有自由可言。康托还有常被引用的精彩名言：

在数学中，提出问题的艺术比解决问题的艺术还重要。（In mathematics, the art of problem posing is more important than problem solving.）

数学是人类求知活动的一部分，是人创造的，包含有许多层面。它是一种科学、一种艺术、一种哲学，也是一部精纯的方法论、一种语言，更是逻辑推理系统，以及研究数与形的学问。

数学与艺术的创造想象力虽然没有两样，但是数学最终要受「逻辑」的制约（艺术受「美」的制约），这是严酷的考验。比较起来，物理学更严苛，它的理论一方面要受「逻辑」的制约，另一方面还要受「自然」的检验。

一个数学概念，从含糊的直观经验开始，经过演化与成长，最后才澄清而「定影」下来，这是所谓的「观念探险之旅」（the adventure of ideas），数学家对这个过程乐此不疲。学习数学应该重新经历这个观念的锤炼过程，从中得到发现的喜悦 （the joy of discovery）。