已知数列{an}满足a1=3，an+1=an2-nan+λ（n∈N*，λ∈R）．（Ⅰ）对?n∈N*，an≥2n恒成立的充要条件为λ

已知数列{an}满足a1=3，an+1=an2-nan+λ（n∈N*，λ∈R）．（Ⅰ）对?n∈N*，an≥2n恒成立的充要条件为λ≥-2；（Ⅱ）若λ=-2，证明：1a1?2+1a2?2+…+1an?2＜2．

（Ⅰ）先证明必要性：由题意知?n∈N*，an≥2n恒成立，
则当n=2时，a2=6+λ≥2×2，得出λ≥-2，成立．
充分性：当n=2时，显然成立，
假设当n=k，（k≥2）时，ak≥2k成立，
则当n=k+1时，ak+1=ak2-kak+λ=ak（ak-k）+λ≥2k2-2=2（k+1）（k-1）≥2（k+1），
故对所有的n≥2，有an≥2n恒成立，
故an≥2n恒成立的充要条件为λ≥-2．
（Ⅱ）当λ=-2．时，an≥2n，
即an+1-2=an2-nan-4=an（an-n）-4≥nan-4≥2（an-2）＞0，（n≥2），
则
1
an?2 ≤
1
2 ×
1
an?1?2 ≤…≤
1
2n?2 ×
1
a2?2 =
1
2n?1 ，（n≥3）

1
a1?2 +
1
a2?2 +…+
1
an?2 ＜1+
1
2 +
1
22 +…+
1
2n?1 =2?
1
2n?1 ＜2．
即不等式成立．

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