如图，已知△ABC中，AB=AC，D在CB的延长线上，连接AD。求证：AD²-AB²=BD*CD

如图，已知△ABC中，AB=AC，D在CB的延长线上，连接AD。求证：AD²-AB²=BD*CD

过A点做BC垂线 交于E点
直角三角形ADE、ADB
AB^2=AE^2+BE^2
AD^2=AE^2+(BD+BE)^2
AD²-AB²=BD^2+2BD*BE
CD=BD+BC
BD*CD=BD(BD+BC)
AD²-AB²-BD*CD=2BD*BE-BD*BC=0
即2BE=BC
因为AB=AC 即三角形ABD为等角三角形
且AE垂直于BC
所以AE平分BC 三线合一
所以BE=EC=1/2BC
即2BE=BC
所以AD²-AB²=BD*CD成立

证明：

作ae⊥cd，交cd于e

ad^2=de^2+ae^2

ab^2=be^2+ae^2

ad＾2-ab＾2=de^2-be^2=(de-be)(de+be)

∵ab=ac，

∴由等腰三角形的性质可得

be=ce

∴(de-be)(de+be)=db*cd

∴ad＾2-ab＾2=bd*cd