讨论函数f（x）=sin1x2-1x＜0x2-1cosπx2x≥0的连续性，并对间断点判断其类型

讨论函数f（x）=







sin
1
x2-1 x＜0

x2-1
cos
πx
2 x≥0 的连续性，并对间断点判断其类型．

（1）在（-∞，0）内，
f（x）是初等函数，在点x=-1处无定义，

lim
x→-1 f(x)=
lim
x→-1 sin
1
x2-1 不存在且无穷振荡．
（2）在（0，+∞）内，
f（x）在点x=2n-1，（n=1，2，…）处无定义．
对于n=1，

lim
x→1 f(x)=
lim
x→1
x2-1
cos
πx
2 =
lim
x→1
2x
-
π
2 sin
πx
2 =-
4
π ．
对于任意n≥2，

lim
x→2n-1 cos
πx
2 =0，从而
lim
x→2n-1 f(x)=∞，(n≥2)．
（3）在点x=0处，

lim
x→0+ f(x)=
lim
x→0+
x2-1
cos
πx
2 =-1，

lim
x→0- f(x)=
lim
x→0- sin
1
x2-1 =sin(-1)，
故x=0是f（x）的跳跃间断点．
综上所述，
x=-1是函数f（x）的振荡间断点；
x=1是函数f（x）的可去间断点；
x=0是函数f（x）的跳跃间断点；
x=2n-1，（n≥2）是函数f（x）的无穷间断点；
除这些点外f（x）都连续．

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