在矩形OABC中,已知A、C坐标为(4,0)和(0,2),D为OA中点,设P是角AOC平分线上的一个动点

在矩形OABC中,已知A、C坐标为(4,0)和(0,2),D为OA中点,设P是角AOC平分线上的一个动点

因为在矩形OABC中,A(4,0)和O(0,0),
所以B（4，2）
又因为D为OA中点
所以D(2,0),
因为P是角AOC（90度）平分线上的一个动点，
所以P在直线y=x上
设点P(x1,x1)
过点B作角AOC平分线的垂线，交于点F
所以点F就是所求的与点B距离最小的点（点到直线的连线，垂线段最短）
因为直线y=x的斜率为1，所以BF的斜率为-1.
设直线BF为y=-（x-4）+2
则BF与直线y=x的交点为（3，3）
此时设过O、P、D三点的抛物线解析式为y=a(x-0)(x-2)
将P(3,3)代入，得a=1
所以此时过O、P、D三点的抛物线解析式为y=x(x-2)

因为E是抛物线的顶点
所以E(1,-1)
因为D(2,0), E(1,-1) P(x1,x1)
要求三角形PDE周长值，因为PDE=PE+DE+PD而ED=√2是定值。
所以即求PE+PD的最小值。
因为点E关于直线y=x的对称点为G（-1，1）
所以PE=PG
所以PE+PD=PG+PD≥DG（三角形两边之和大于第三边）
即当点P在直线DG上时取到最小值。
因为直线DG的方程为y=-（x-2）/3
所以DG与直线y=x的交点为（1/2，1/2），即P点（1/2，1/2）
而此时DG=√10.
所以当P点运动到（1/2，1/2）时，三角形PDE周长最小
最小值为√10+√2。
此时P（1，1）。