已知数列{an}an+1=2n+1次*an/an+2n+1次,且a1=2,求数列an的通向公式

已知数列{an}an+1=2n+1次*an/an+2n+1次,且a1=2,求数列an的通向公式

a(n+1)=2^(n+1) ·an/[an+2^(n+1)]
1/a(n+1)=[an+ 2^(n+1)]/[2^(n+1) ·an]
1/a(n+1)=1/an +1/2^(n+1)
1/a(n+1)-1/an=1/2^(n+1)
1/a(n+1)-1/an=1/2ⁿ -1/2^(n+1)
1/a(n+1)+ 1/2^(n+1)=1/an +1/2ⁿ
1/a1+ 1/2=1/2+1/2=1
数列{1/an +1/2ⁿ}是各项均为1的常数数列
1/an +1/2ⁿ =1
1/an=1- 1/2ⁿ=(2ⁿ -1)/2ⁿ
an=2ⁿ/(2ⁿ -1)
n=1时，a1=2/(2-1)=2，同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=2ⁿ/(2ⁿ-1)

注：得到1/a(n+1)-1/an=1/2^(n+1)之后，也可以用递推法求通项公式，不过步骤比较繁琐，就不用递推法了，如果你正在学递推法，可以用递推法解。

解： a(n+1)=an+(2n+1)×2ⁿ=n×2^(n+1)+2ⁿ a(n+1)-an=n×2^(n+1)+2ⁿ an-a(n-1)=(n-1)×2ⁿ+2^(n-1) a(n-1)-a(n-2)=(n-2)×2^(n-1)+2^(n-2) ………… a2-a1=1×2²+2 累加 an-a1=1×2²+2×2³+...+(n-1)×2ⁿ+ 2+2²+...+2^(n-1) 令cn=1×2²+2×2³+...+(n-1)×2ⁿ 则2cn=1×2³+2×2⁴+...+(n-2)×2ⁿ+(n-1)×2^(n+1) cn-2cn=-cn=2²+2³+...+2ⁿ -(n-1)×2^(n+1) cn=(n-1)×2^(n+1)-(2²+2³+...+2ⁿ) an-a1=cn+2+2²+...+2^(n-1) =(n-1)×2^(n+1) -(2²+2³+...+2ⁿ)+2+2²+...+2^(n-1) =(n-1)×2^(n+1) +2 -2ⁿ =(2n-3)×2ⁿ+2 an=a1+(2n-3)×2ⁿ+2=(2n-3)×2ⁿ+2+1=(2n-3)×2ⁿ+3 n=1时，a1=(2-3)×2+3=-2+3=1，同样满足。 数列{an}的通项公式为an=(2n-3)×2ⁿ+3。