如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ=30°．一长

如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ=30°．一长为L的轻绳一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体．物体以速度v绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动．（结果可保留根式）（1）当 v 1 = 1 6 gL 时，求绳对物体的拉力；（2）当 v 2 = 3 2 gL 时，求绳对物体的拉力．

当物体离开锥面时：Tcosθ-mg=0，Tsinθ=
m v 2
R ，R=Lsinθ
解得v=






3 gl
6 ．
（1）v 1 ＜v时，有 T 1 sinθ- N 1 cosθ=
m v 1 2
R ，T 1 cosθ+N 1 sinθ-mg=0
解得 T 1 =
3


3 +1
6 mg ．
故当 v 1 =



1
6 gL 时，求绳对物体的拉力 T 1 =
3


3 +1
6 mg ．
（2）v 2 ＞v时，球离开锥面，设线与竖直方向上的夹角为α，
则T 2 cosα-mg=0
T 2 sinα=
m v 2 2
R 2
R 2 =Lsinα
解得T 2 =2mg．
故当 v 2 =



3
2 gL 时，求绳对物体的拉力T 2 =2mg．

先求临界状态（物体还在锥面上，但锥面压力为零）时的角速度ω0： 重力mg竖直向下，细绳拉力t沿斜面斜向上，二力的合力指向水平圆的圆心替工向心加速度。 mgtanθ = mω^2r = mω0^2lsinθ ω0 = √[(gtanθ/lsinθ)] = √[g/cosθ)] = √[g/(l√3/2)] = √[2g/(l√3)] （1） ω=√[(2g/(3l)] ＜ ω0，此时，物体在锥面上，并且锥面对物体有支持力fn。 竖直方向受力平衡：tcosθ+fnsinθ = mg ......(1) 水平方向合力产生向心加速度： tsinθ-fncosθ = mω^2r = mω^2lsinθ ......(2) 整理： fnsinθ = mg-tcosθ ......(3) fncosθ = tsinθ-mω^2lsinθ ......(4) （3）÷（4）： sinθ/cosθ = (mg-tcosθ)/(tsinθ-mω^2lsinθ) mgcosθ-tcos^2θ = tsin^2θ-mω^2lsin^2θ tsin^2θ+tcos^2θ = mgcosθ+mω^2lsin^2θ = mgcosθ+m*2g/(3l)*lsin^2θ t = mg(cosθ+2/3sin^2θ) = mg(√3/2+2/3*1/4) = (3√3+1)mg/6 （2） ω=√(2g/l) ＞ ω0，此时，物体离开面。 重力mg竖直向下，细绳拉力t沿斜面斜向上，二力的合力指向水平圆的圆心替工向心加速度。 竖直方向受力平衡：tcosθ = mg ......(1) 水平方向合力产生向心加速度： tsinθ = mω^2r = mω^2lsinθ ......(2) （1）÷（2）得： cosθ/sinθ = mg/(mω^2lsinθ) g = ω^2lcosθ cosθ = g/(ω^2l) = g/[(2g/l)l} = 1/2 θ = 60° t= mg/cosθ = mg/(1/2) = 2mg