如何证明f(x)=lnx的导函数为f'(x)=1/x.

如何证明f(x)=lnx的导函数为f'(x)=1/x.

(下面等式前均为极限lim(△x→0) ，下略)

[ln(x+△x)-lnx]/△x
=1/△x·{ln[(x+△x)/x]}
=1/△x·[ln(1+△x/x)]
=1/x·x/△x·[ln(1+△x/x)]
=1/x·{[ln(1+△x/x)]·/(△x/x)}
令u=△x/x,则有=1/x·{[ln(1+u)]/u}=1/x[ln(1+u)^(1/u)]=1/x·lne=1/x

g(x)=f(x)-ax f(x)=lnx x^2 定义域为x＞0 g(x)=lnx x^2-ax要满足其定义域内为增函数 那么g(x)的导数在定义域为x＞0恒大于等于0 g(x)导数=1/x 2x-a≥0 a≤1/x 2x 根据均值不等式1/x 2x≥2根号2 所以a要小于它的最小值2根号2 实数a的取值范围a≤2根号2 h(x)=x-3ax h(x)的导数=3x-3a 令导数等于0 x=±根号a 所以h(x)在[-根号a 根号a]单调递减 a大于1又由第一问知道a≤2根号2 根号a在[1 2]范围内 f(x)极小值f(根号a)=0