已知导函数是偶函数，那么原函数是偶函数？？？

已知导函数是偶函数，那么原函数是偶函数？？？

结论错误
F(x)=∫f(t)dt+C (从0到x）
F(-x)=∫f(t)dt+C (从0到-x）
另u=-t
F(-x)=∫f(-u)d(-u)+C (从0到x）
若f(x)为奇函数
F(-x)=∫f(u)du+C (从0到x）=F(x)
故奇函数的原函数为偶函数
若f(x)为偶函数
F(-x)=-∫f(u)du+C (从0到x）不一定等于-F(x)除非C=0
故偶函数可能为奇函数（但不一定）

已知：f'(x)=f(x);f(x)=-f(-x),x∈(-a,a),a为常数 求证：f(-x)=f(x) 证明：当x∈(-a,a),a为常数, 令x=任意t，t∈(-a,a),a为常数, ∵f'(x)=f(x);f(x)=-f(-x) ∴f(-t) =∫[下限-a,上限-t]f'(-t) =∫[下限-a,上限-t]f(-t) =∫[下限-a,上限-t][-f(t)] =-∫)=∫[下限-a,上限-t]f(t); 而f(t) =∫[下限-a,上限t]f'(t) =∫[下限-a,上限t]f(t) =∫[下限-a,上限-t]f(t)+∫[下限-t,上限t]f(x) {∵f(x)=-f(-x),∴∫[下限-t,上限t]f(x)=0} =∫[下限-a,上限-t]f(t) ∴f(-x)=f(x)得证 所以，导函数是奇函数则原函数是偶函数。 如果要通俗证明的话可以利用函数图像的性质。 比如，做一个以原点对称的任意奇函数图形，它在定义域内与x轴围成的面积就是其原函数的函数图形。 由于x轴下方的面积是为负，而函数图像是关于原点对称的，也就是说[a,o]与[0,a]（a属于定义域）范围内的图像总是分处在x轴的上下两边，并且面积是相等的。因此，这两块面积相加的和总是等于零。 原函数取某个值的图像是从定义域左端到定义域上某点（x)范围内图形的面积,而从x到-x范围，图像的面积为零。因此，原函数取某个值（x)的图像面积等于它取（－x)的图像的面积。这意味着原函数在这两点上是等值的。由于x是任意取的值，因此，可以说明图像上所有点都具有这个性质，即图像面积关于y轴对称。 这样，就可以证明原函数是偶函数。