几何概型中的一个经典问题

在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率。这个答案是0.707
在等腰直角三角形ABC中,过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM小于AC的概率。这个答案是0.75.第二个问题说射线AM在角ACB内是等可能分布的,为什么点M在线段AB上不是等可能的.
我是从几何概型的定义来分析，任找一点，满足条件的点的测度与点的测度之比。
能不能从几何概型的定义来分析，对于一个随机事件，我们要将每个基本事件理解为从某个特定几何区域内随机取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点。

1) 点M在线段AB上是等可能的,j就是根据这个才有，
AM < AC , AB = √2 AC, 所以AM < AC 的概率是 AC / √2 AC = 1/ √2 = 0.707.

2) 按照角度均匀分布，AMC为等腰三角形以内为满足AM<AC, 根据角A = 45,可知角ACM < 135/2为AM<AC的条件，所以AM < AC概率为角ACM / 90 = 3/4 = 0.75

之所以两个概率不同，是因为，相同的角度对应在斜边AB上的线段长度不同，假设角度均匀分布的时候，M落在任何相同角度跨度内的几率是一样的，但是由于他们对应的斜边长度不同，按照长度均匀分布来M落在这些小区间的概率是不相同的，从而导致最终结果的区别。

事实上，同样角度对应高线附近的线段长度要短。

因为第一个问题基本事件是点，第二个问题基本事件是射线。

我想楼主用线段求的思路是这样的：原问题的概率相当于是在ab上随机取点m，使得|am|＞|ac|能够成立的m点的概率，对吗？这样算的话，满足|am|＞|ac|的m点的概率应该是（2-√3）/2对吗？ 楼主这样算就错了，因为你把原问题“从c做cm交ab于m”看成了“在ab上随机取点”，你忽略了这个转化一个很重要的条件：m出现在ab上每一个点上的概率并不是相同的！只有m在ab上每一个位置出现的概率都相同，才能使用线段长度算的方法成立！ 而过c引射线cm交ab于m，则应该理解为，cm与ac所成的夹角是0到90度之间任意一个角度的概率是相等的！由此可以看出，cm与ab相交时，并不是m出现在ab上任意一点的可能性都是相等的！所以正确的方法应该是，当ac=am时，有角mca=75度，当mca大于75度小于90度时，才会有am>ac成立，也就是说此时的mca角可以从75度取到90度，有15个角度的区间可以选择，而在0到75度这75个角度区间中，是无法满足am>ac的，所以概率为1/6