第二类曲面积分：∫∫(S)x^2zdxdy
答案:2 悬赏:40
解决时间 2021-03-21 10:06
- 提问者网友：谁的错
- 2021-03-20 09:15
第二类曲面积分：∫∫(S)x^2zdxdy
最佳答案
- 二级知识专家网友：我住北渡口
- 2021-03-20 09:58
补充平面 S1： z = 0 ( x^2+y^2 ≤ R^2)， 取上侧，S, S1 围成半球 Ω。
则 I = ∫∫x^2zdxdy = ∯x^2zdxdy - ∫∫x^2zdxdy
前者用高斯公式，后者 z = 0，
I = ∫∫∫<Ω>x^2dxdydz + 0
= ∫<π/2，π>dφ∫<0, 2π>dθ∫<0, R> r^2(sinφ)^2(cosθ)^2·r^2sinφdr
= ∫<π/2，π>(sinφ)^3dφ∫<0, 2π>(cosθ)^2dθ∫<0, R> r^4dr
= (R^5/10)∫<π/2，π>[1-(cosφ)^2]dcosφ∫<0, 2π>(1+cos2θ)dθ
= (R^5/10)[cosφ - (1/3)(cosφ)^3]<π/2，π>[θ+(1/2)sin2θ]<0, 2π>
= (R^5/10)(-1+1/3)2π = -2πR^5/15
则 I = ∫∫
前者用高斯公式，后者 z = 0，
I = ∫∫∫<Ω>x^2dxdydz + 0
= ∫<π/2，π>dφ∫<0, 2π>dθ∫<0, R> r^2(sinφ)^2(cosθ)^2·r^2sinφdr
= ∫<π/2，π>(sinφ)^3dφ∫<0, 2π>(cosθ)^2dθ∫<0, R> r^4dr
= (R^5/10)∫<π/2，π>[1-(cosφ)^2]dcosφ∫<0, 2π>(1+cos2θ)dθ
= (R^5/10)[cosφ - (1/3)(cosφ)^3]<π/2，π>[θ+(1/2)sin2θ]<0, 2π>
= (R^5/10)(-1+1/3)2π = -2πR^5/15
全部回答
- 1楼网友：举杯邀酒敬孤独
- 2021-03-20 10:04
利用对称性，原式=0
注：这里先要注意一点：
第一类 曲线/曲面 积分 具有 偶倍奇零 性质
第二类 曲线/曲面 积分 具有 偶零奇倍 性质
所以这两类的 奇偶性 是相反的，因为第二类积分涉及方向性的问题
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