什么是导数

什么是导数

函数在某点的导数就表示函数在该点的斜率,就是坡度.
比如函数是一座山的断面上边缘的那样子,我们以左端山脚下为原点建立坐标系,山上某点的高度就是一个对水平位置的函数,我们要修台阶的话,如果规定每个台阶都是一样宽的,肯定陡峭的地方台阶会高一点,平缓的地方,台阶就低一些.这个台阶高度,就是山高函数的导数,它就代表该位置的斜度、陡峭程度,如果某一段是水平的,那么台阶高度就是0,导数就是0,如果某一段是笔直的悬崖,那么要用非常非常高的台阶（在数学上,竖直的话,这里的导数就是正无穷大了）.
你把导数看成斜率就行了,就是把该点附近分出很小很小一段的时候,可以看成是一小段直线段,这时候就可以计算这里的斜度了,就是跟水平x轴的夹角的正切,就是函数在该点的导数.
函数在所有点的导数的集合构成了原函数的导函数.
对于一次函数,是一条直线,不论在哪里斜率都一样的,所以一次函数的导函数就是一个常数.

导数（derivative）亦名微商，由速度问题和切线问题抽象出来的数学概念。又称变化率。如一辆汽车在10小时内走了 600千米，它的平均速度是60千米／小时，但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米／小时。为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置x与时间t的关系为x＝f（t），那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是[f(t1)-f(t2)/t1-t2]，当 t1与t0很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t0 到 t1这段时间内的运动变化情况 ，自然就把极限[f(t1)-f(t2)/t1-t2] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度，这就是通常所说的速度。一般地，假设一元函数 y＝f(x )在 x0点的附近(x0－a ，x0 ＋a)内有定义，当自变量的增量δx＝ x－x0→0时函数增量 δy＝f（x）－ f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数（或变化率)。若函数f在区间i 的每一点都可导，便得到一个以i为定义域的新函数，记作 f′，称之为f的导函数，简称为导数。函数y＝f（x）在x0点的导数f′（x0）的几何意义：表示曲线l 在p0［x0，f（x0）］ 点的切线斜率。