已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的长轴长为4

已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的长轴长为4

【解答的挺详细的，希望能对你有所帮助】
1.若以为圆心，椭圆短半轴为半径的圆与直线y=x+2
相切，求椭圆的焦点坐标
∵椭圆C的长轴长为4
∴2a=4 a=2 a^2=4
∵原点到直线y=x+2的距离为d=2/（根号2）
∴b=根号2 b^2=2 c^2=a^2-b^2=2
∴焦点F1（﹣√2，0）、F2（√2，0）
2.若点p是椭圆C上的一点，过原点的直线l与椭圆相交于M.N两点，记直线PM，PN的斜率分别为Kpm*Kpn=-1/4时，求椭圆的方程
设P(x0,y0),过原点的直线L: y=kx，M(x1,kx1) N(-x1,-kx1)
则KPM=(y0-kx1)/(x0-x1)
KPN=(y0+kx1)/(x0+x1)
∵KPM*KPN=-1/4
∴(y0^2-k^2x1^2)/(x0^2-x1^2)=-1/4
即4y0^2-4k^2x1^2+x0^2-x1^2=0 ——记为（*）式
又 由题知椭圆C：x^2/4+y^2/b^2=1
∴y0^2=b^2-（b^2x0^2）/4
再将y0^2=b^2-（b^2x0^2）/4代人（*）式可得
4b^2-b^2x0^2-4k^2x1^2+x0^2-x1^2=0
合并后得(1-b^2)x0^2-(4k^2+1)x1^2+b^2=1
∵点P是椭圆C上的任意一点，即这个等式与点P的位置无关
所以任意x0,等式(1-b^2)x0^2-(4k^2+1)x1^2+b^2=1恒成立
即1-b^2=0
∴b^2=1
∴椭圆方程x^2/4+y^2=1
【看懂了吗？】

解：∵以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y=x+2相切； ∴圆心(0,0)到直线y=x+2的距离d=r=b。 ∴b^2=d^2=2 ； ∵椭圆c:x^2/a2+y^2/b^2=1(a>b>0)的长轴为4！ ∴2a=4，即：a=2； ∴c^2=a^2-b^2=4-2=2 ；c=√2 ； ∴椭圆焦点坐标(±√2,0)

根据“椭圆短半轴为半径的圆与直线y=x+2相切”可知短半轴为直线y=x+2与原点的距离，即b=根2，有a=2,可求焦点坐标 第二题太复杂，去问老师吧

（1）（﹣√2，0）、（√2，0） （2）b=1，椭圆方程：x^2/4+y^2=1(Kpm*Kpn=﹣a^2/b^2)