最好是普通ABC三角形
证出等边ABC三角形也好
要过程
最好用几何方法
代数方法老师讲过了
找一点p为三角形ABC内一点,使得PA^2+PB^2+PC^2的值最小
答案:6 悬赏:30
解决时间 2021-02-02 04:10
- 提问者网友:柠檬香
- 2021-02-01 20:49
最佳答案
- 二级知识专家网友:承载所有颓废
- 2021-02-01 21:30
P点是三角形ABC的重心,即是三边中线的交点,重心到三边距离的平方和最小~
证明:
设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)
平面上任意一点为(x,y),则该点到三顶点距离平方和为:
(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2
=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2
=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2
显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3(重心坐标)时上式取得最小值
最小值为 x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2
证毕
证明:
设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)
平面上任意一点为(x,y),则该点到三顶点距离平方和为:
(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2
=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2
=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2
显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3(重心坐标)时上式取得最小值
最小值为 x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2
证毕
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- 1楼网友:陪我到地狱流浪
- 2021-02-02 02:55
你设A(X1,Y1)B(X2,Y2)C(X3,Y3)利用平面向亮证明
- 2楼网友:万千宠爱
- 2021-02-02 01:47
P点是三角形ABC的重心,即是三边中线的交点,重心到三边距离的平方和最小~
证明:
设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)
平面上任意一点为(x,y),则该点到三顶点距离平方和为:
(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2
=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2
=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2
显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3(重心坐标)时上式取得最小值
最小值为 x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2
证毕
参考资料:baiodu
- 3楼网友:白日梦制造商
- 2021-02-02 00:14
在平面直角坐标系中设三点A(a,b),B(c,d),C(e,f),P为三角形内一点(x,y)
则根据平面上两点距离公式
PA^2=(x-a)^2+(y-b)^2
PB^2=(x-c)^2+(y-d)^2
PC^2=(x-e)^2+(y-f)^2
PA^2+PB^2+PC^2=(x-a)^2+(y-b)^2+(x-c)^2+(y-d)^2+(x-e)^2+(y-f)^2
=(x^2-2ax+a^2)+(y^2-2by+y^2)+(x^2-2cx+c^2)+(y^2-2dy+y^2)+(x^2-2ex+x^2)+(y^2-2fx+f^2)
=[3x^2-2(a+c+e)x+a^2+c^2+e^2]+[3y^2-2(b+d+f)y+b^2+d^2+f^2]
因为a,b,c,d,e,f为六个互不关联的取值
所以仅当上边两个中括号内均取最小值时,PA^2+PB^2+PC^2有最小值
令f(x)=3x^2-2(a+c+e)x+a^2+c^2+e^2
f'(x)=6x-2(a+c+e)
令f'(x)=0得x=(a+c+e)/3
令g(y)=3y^2-2(b+d+f)y+b^2+d^2+f^2
g'(y)=6y-2(b+d+f)
令g'(y)=0得y=(b+d+f)/3
所以P点的坐标为P((a+c+e)/3,(b+d+f)/3)
下面证明P是重心
设重心为O,则O分有向线段CD的比例为2,由定比分点公式重心O的横坐标为[e+2*(a+c)/2]/(1+2)=(a+c+e)/3,同理纵坐标为(b+d+f)/3。
所以P与O重合,即P为重心
- 4楼网友:萌萌哒小可爱
- 2021-02-01 23:15
设三角形的心为o
ap=a0+op bp=bo+op cp=co+op
ap^2+bp^2+cp^2=ao^2+op^2+2aoop+bo^2+op^2+2boop+co^2+op^2+2coop
=ao^2+bo^2+co^2+3op^2+2op(ao+bo+co)
=ao^2+bo^2+co^2+3op^2
以上均表示向量
当op最小时,ap^2+bp^2+cp^2最小
即o,p重合时,ap^2+bp^2+cp^2最小
ap^2+bp^2+cp^2=ao^2+bo^2+co^2=a^2
- 5楼网友:一池湖水
- 2021-02-01 22:41
用向量方法
用XY
表示向量XY
G是ABC的重心
GA+GB+GC=0
PA^2+PB^2+PC^2=(PG+GA)^2+(PG+GB)^2+(PG+GC)^2=3PG^2+GA^2+GB^2+GC^2+2PG(GA+GB+GC)=3PG^2+GA^2+GB^2+GC^2>=GA^2+GB^2+GC^2
当且仅当G=P时取得最小值
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