连通集的像连通

连通集的像连通

1. 反证法，假如f为定义在连通集S上的连续函数，但f的像不连通。那么存在U1, U2非空开集，使得满足定义的条件。考虑V1=f^(-1)(U1),V2=f^(-1)(U2)，由f为连续函数，V1，V2也为开集。而且对于任意的x属于S，f(x)属于f(S)包含于U1并U2，所以x一定属于V1或V2中的一个（即x属于V1并V2）由于U1，U2的交集为空集，V1和V2的交集也是空集。且根据定义，V1，V2非空。由此，V1，V2为一对开集，对S来说满足所给的非连通集的定义。由此S为非连通集，矛盾！2. 因为{0,1}为非连通集，由1，不存在这样的连续函数。考虑S=(0,1)并(2,3)当x属于(0,1)时，f(x)=0当x属于(2,3)时，f(x)=1不难验证f为连续函数，但其像为{0,1}

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