已知x,y为正实数,且2x+y=1,则2/x+1/y的最小值

已知x,y为正实数,且2x+y=1,则2/x+1/y的最小值

2x=1-y>0 0<y<1
y=1-2x>0 0<x<1/2
2/x+1/y>0
1/(2/x+1/y)
=1/[2/x+1/(1-2x)]
=(-2x²+x)/(-3x+2)
=(-2x²+4x/3-x/3+2/9-2/9)/(-3x+2)
=2x/3+(1/9)-(2/9)/(-3x+2)
=(-2/9)[(-3x+2)+1/(-3x+2)]+5/9
由均值不等式，得
当-3x+2=1/(-3x+2)时，即x=1/3时，1/(2/x+1/y)有最大值(-2/9)(1+1)+5/9=1/9
即当x=1/3时，2/x+1/y有最小值9。

1/x+1/y=(1/x+1/y)(2x+y)=3+2x/y+y/x≥3+2√[(2x/y)(y/x)]=3+2√2 当且仅当2x+y=1，2x/y=y/x时，即x=(2-√2)/2,y=(2√2-2)/2时取等号，所以所求最小值为3+2√2  

（2x＋y）×(2/x+1／y)=4＋(2x/y)＋(2y/x)＋1≧5＋2√4＝9