（1）求证：Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n?2n-1 （n∈N*）（2）设n是满足Cn0+2Cn1+3Cn2+…+（n+1）?Cnn＜1000

（1）求证：Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n?2n-1 （n∈N*）（2）设n是满足Cn0+2Cn1+3Cn2+…+（n+1）?Cnn＜1000的最大正整数，求97n除以99的余数．（3）当n∈N*且n＞1时，求证2＜（1+1n）n＜3．

证明：（1）记S=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn，
倒序则S=nCnn+（n-1）Cnn-1+…+Cn1 （2分）
∴2S=ncn0+nCn1+…+nCnn=n?2n
∴S=n?2n-1 …（2分）
解：（2）Cn0+2Cn1+3Cn2+…+（n+1）Cnn
=（Cn0+Cn1+…Cnn）+（Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn） （1分）
=2n+n?2n-1＜1000
由于7?26+27=576＜1000＜1280=8?27+28，
∴n=7  …（2分）
977=（99-2）7=C70?997-C71?996?2+…+C76?99?26-C77?27
∴97n除以99的余数即为-C77?27除以99的余数70  （2分）
证明：（3）∵（1+
1
n ）n=cn0+Cn1?
1
n +Cn2?(
1
n )2+…+Cnn?（
1
n ）n＞cn0+Cn1?
1
n =2 （1分）
∵cn0+Cn1?
1
n +Cn2?(
1
n )2+…+Cnn?（
1
n ）n
=2+
n(n?1)
2! ?
1
n2 +…+
n(n?1)(n?1)…2×1
n! ?
1
nn
＜2+
1
2! +…+
1
n! （2分）
＜2+
1
1×2 +…+
1
(n?1)n
=2+（1-
1
2 ）+…+（
1
n?1 -
1
n ）
=3-
1
n ＜3 （2分）

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