高中立体几何数学题

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA垂直面ABCD,角ABC=60度，E.F分别是BC.PC的中点
（1）证明：AE垂直于PD
（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为2分之根号6，求二面角E-AF-C的余弦值

1、连接AC，得到ABC为一个等边三角形。所以，AE垂直BC，即AE垂直AD，又AE垂直PA，所以AE垂直PD。
2、由于AE垂直PAD，任取一点H，交角正切值都是AE/AH，AE是一定值，所以取最大正切时，AH最小，最小时即AH垂直PD，假设ABCD边长为a,则AE为二分之根号6a,AH值为二分之根号2a，又AD=a,所以PDA为45°，即PA=a。所以AF=二分之根号2a。同样，EF也是二分之根号2a。以下就比较简单了，最后结果是不是根号15分之2？？

第一题，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=BC,所以△ABC为等边三角形。E为BC中点，根据三线合一可得，AE⊥BC,AE⊥AD PA⊥ABCD,∴PA⊥AE ∴AE⊥PAD,∴AE⊥PD 第二题，AE⊥AD，PA⊥AE，可以建立直角坐标系，以AE为X轴，AD为Y轴，AP为Z轴，算法向量就可以做了

几何概率

设存在以a为球心，半径=a的球体（这边仅位于正方体内的部分有效，即1/8球）

要满足，|pa|≤a

只需p点在球内或球上

球的体积=1/8×(4/3×π×r³)=πa³/6

正方体的体积=a³

∴p=v球/v正方体=π/6

∴选d

这道题可以使用空间向量做，也可以用普通方法做，一般第一问建议用普通方法做，步骤会比较简单，而第二问用空间向量做比较保险，只要计算正确就可以，当然用普通方法也是很好的选择 （1）普通几何方法： 因为平面关系，可以确定AE⊥AD，又因为AP⊥平面ABCD，所以AD⊥AP所以AE垂直于平面PAD所以得证 （2）这一问可以用空间向量做，空间向量建立方法是：以A点为原点，AE为x轴（在第一问中已经证明AE垂直于AD），AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，然后设边长就可以计算了