在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，过BC的中点M作ME⊥AD，交BA的延长线于E ，交AD的延长线于F，

则BE与BD的关系为的关系为

1. 在AC上截取一段AB'，使AB'=AB；证明三角形AB'D全等三角形ABD。所以DB=DB'，∠AB'D=∠ABD=2∠C
因为∠AB'D=∠C+∠B'DC，所以三角形B'CD是等腰三角形。B'C=B'D=DB

2.G为EM延长线在AC上的焦点。证三角形AFG与三角形AFE是全等三角形（直角三角形中，两个角相等，共边），所以AG=AE，∠AGM=∠AEF又因为AB'=AB，所以B'G=BE

3.过B点做AC的平行线交EM于H点
因为∠GMC和∠BME是对顶角，CM=BM，∠C=角MBH（平行线内错角相等），所以三角形CGM全等于三角形BMH。所以BH=CG，∠BHE=∠AGM=∠AEF，所以三角形BHE是等腰三角形，BE=BH=CG

4.所以BD=DB'=B'C=B'G+GC=BE+BE=2BE

证明： 延长AF至P,使得AP=AC,连接PC,设AE交PC于Q, 易知AQ⊥PC(三角形APC中等腰三角形顶角平分线与底边上的高重合） 在三角形BPC中， M为PC中点， AQ⊥MF,AQ⊥BC,所以MF‖CP,MF为三角形BPC的中位线，所以BF=FP 连接DP, AD=AD,AP=AC,∠PAD=∠CAD, △APD≌△ACD,所以∠ACD=∠APD, ∠ABC=∠APD+∠BDP ∠ABC=2∠ACB=2∠ACD 所以∠APD=∠BDP,即∠BPD=∠BDP, BD=BP=2BF