柯西不等式成立的条件？

柯西不等式成立的条件？

二维形式
　　(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2
　　等号成立条件：ad=bc
　　 三角形式
　　√(a^2＋b^2)＋√(c^2＋d^2)≥√[(a－c)^2＋(b－d)^2]
　　等号成立条件：ad=bc
　　注：“√”表示平方根，
　　 向量形式
　　|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2）
　　等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。
　　 一般形式
　　(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2
　　等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。
　　上述不等式等同于图片中的不等式。
　　 推广形式
　　(x1＋y1＋…)(x2＋y2＋…)…(xn＋yn…)≥[(Πx)^(1/m)＋(Πy)^(1/m)＋…]^m
　　注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。 [编辑本段]【柯西不等式的证明】　　 二维形式的证明
　　　(a^2+b^2)(c^2+d^2)　（a,b,c,d∈R)
　　＝a^2·c^2 ＋b^2·d^2＋a^2·d^2＋b^2·c^2
　　＝a^2·c^2 ＋2abcd＋b^2·d^2＋a^2·d^2－2abcd＋b^2·c^2
　　＝(ac＋bd)^2＋(ad－bc)^2
　　≥(ac＋bd)^2，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。
　　 一般形式的证明
　　求证：(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2
　　证明：
　　当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，一般形式显然成立
　　令A=∑ai^2　B=∑ai·bi　C=∑bi^2
　　当a1，a2，…，an中至少有一个不为零时，可知A＞0
　　构造二次函数f(x)=Ax^2＋2Bx＋C，展开得：
　　f(x)＝∑(ai^2·x^2＋2ai·bi·x＋bi^2)＝∑ (ai·x＋bi)^2≥0
　　故f(x)的判别式△＝4B^2－4AC≤0，
　　移项得AC≥B，欲证不等式已得证。
　　 向量形式的证明
　　令m＝(a1, a2, …, an)，n＝(b1, b2, …, bn)
　　m·n＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝|m||n|cos<m, n>＝√(a1^2＋a2^2＋…＋an^2) ×√(b1^2＋b2^2＋…＋bn^2) ×cos<m, n>
　　∵cos<m, n>≤1
　　∴a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤√(a1^2＋a2^2＋…＋an^2) ×√(b1^2＋b2^2＋…＋bn^2)
　　注：“√”表示平方根。
　　注：以上仅是柯西不等式部分形式的证明。

柯西不等式可以简单地记做：平方和的积 ≥ 积的和的平方。它是对两列数不等式。取等号的条件是两列数对应成比例。 如：两列数 0，1 和 2，3 有 (0^2 + 1^2) * (2^2 + 3^2) = 26 ≥ (0*2 + 1*3)^2 = 9.

任意实数设a1,a2,...,an,b1,b2,...,bn为任意两组实数,则有 (a1*x-b1)^2+(a2*x-b2)^2+...+(an*x-bn)^2>=0 (a1^2+a2^2+...+an^2)*x^2-2x(a1b1+a2b2+...+anbn)+(b1^2+b2^2+...+bn^n)>=0 左边是关于x的2次函数,其值大于等于零,故判别式 4(a1b1+a2b2+...+anbn)^2-4(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^n)<=0 (a1b1+a2b2+...+anbn)^2<=(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^n) 这是柯西不等式,从证明过程看,对所有实数均成立.

你说的不是柯西不等式的情况（柯西不等式是(ac+bd)²≤(a²+b²)(c²+d²)），而是几何算术平均不等式（有很多变体形式，比较常见的有4ab≤(a+b)²），举例说明： 例题：已知2x+5y=20，求xy的最大值 先用几何算术不等式解，然后告诉你其几何意义（你可能已经看出来了） ∵(2x)(5y)≤{(2x+5y)/2}²=100 ∴xy≤10 ，等号当且仅当x=5，y=2时成立 ∴xy最大值为10 从几何上讲，2x+5y=20表示直角坐标系的一条直线，xy=k表示一条双曲线，如果我们要求 xy 的最大值，就是 k 的最大值喽。 如果你画出来，一条定直线和若干条不定的双曲线，你可以用不同的具体数值替换k，画出一族平行的双曲线（建议这样做，可以增加直觉），那么很明显，只有在双曲线 xy=k 和直线 2x+5y=20 相切的时候，k是最大的。你要求k，那么用代数方法就是上面的解法。所以你能理解为什么不等式中取等号时为直线与双曲线或其他图形的切点了吧。 还有更深入的一些应用，就是经济学里面当做宝一样的最优化，比如效用最大化的模型，原则上就是这个道理，你可以在任何一本经济学入门书里了解这种应用。